安徽省亳州市2022--2023学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A、 $y = 3 x - 1$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = 3 x^{2} + x - 1$ D、 $y = 2 x^{3} - 1$

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2. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$

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3. 在 $Rt$ △ $A B C$ 中，∠ $C = 90 °$ ，如果 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，那么cosA的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 如果反比例函数 $y = \frac{a - 2}{x}$ （a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）

A、a<0 B、a>0 C、a<2 D、a>2

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5. 下列说法中，真命题的个数是（）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若抛物线y=﹣x²+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）

A、5 B、﹣1 C、4 D、18

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7. 如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（）

A、 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ B、 $\frac{A C}{A B} = \frac{D F}{D E}$ C、 $\frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$ D、 $\frac{B E}{C F} = \frac{A B}{A C}$

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8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则cosB的值为( )

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 c m$ ，动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $A$ 出发，在正方形的边上，分别按 $A \to D \to C$ ， $A \to B \to C$ 的方向，都以 $1 c m / s$ 的速度运动，到达点 $C$ 运动终止，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $x s$ ， $Δ A P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，则下列图象中能大致表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 如图，已知A为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴，垂足为B．若 $△ O A B$ 的面积为2，则k的值为．

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12. 两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为．

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13. 若扇形的圆心角为120°的弧长是12πcm，则这个扇形的面积是 cm² ．

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14. 如图 $R t △ A B C$ 的两条直角边 $A B = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ，点D沿 $A B$ 从A向B运动，速度是 $1 c m / s$ ，同时，点E沿 $B C$ 从B向C运动，速度为 $2 c m / s$ ．动点E到达点C时运动终止．连接 $D E 、 C D 、 A E$ ．

(1)、当动点运动秒时， $△ B D E$ 与 $△ A B C$ 相似；

(2)、当动点运动秒时， $C D ⊥ D E$ ．

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三、解答题

15. 计算： ${(π + 2)}^{0} + 4 c o s 30 ° - \sqrt{12} + | - 2 |$ ．

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16. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} + b x + c$ 过点 $(1 ， 3)$ 和 $(0 ， 4)$ ，求该抛物线的解析式．

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17. 在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 三个顶点坐标分别是 $A (- 1 ， - 1)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ ， $C (- 2 ， - 4)$ ．

(1)、作出 $Δ A B C$ 关于O点逆时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、作出 $Δ A B C$ 以点O为位似中心，位似比为1的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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18. 用“”和“”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植：

(1)、观察图形，寻找规律，并将下表填写完整：
图序
①
②
③
④
1
4
9
4
9
$16$

(2)、分别表示出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数．

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19. 已知：如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ．

(2)、过点O作线段 $A C$ 的垂线 $O E$ ，垂足为E．若 $C D = 4$ ， $A C = 4 \sqrt{5}$ ．求垂线段OE的长．

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20. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $D E$ ，箱长 $B C$ ，拉杆 $A B$ 的长度都相等， $B ， F$ 在 $A C$ 上， $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F ＝ 30 c m ， C E ： C D ＝ 1 ： 3 ，$ $∠ D C F ＝ 45 ° ， ∠ C D F ＝ 30 °$ ，请根据以上信息，解决下列问题．

(1)、求 $A C$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $E D$ 的距离（结果保留根号）．

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21. 如图，反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象与正比例函数 $y = k_{2} x$ 的图象交于 $A (a ， 1)$ 、B两点．点 $M (a - 3 ， a)$ 在反比例函数图象上，连接 $O M$ ， $B M$ 交y轴于点N．

(1)、求反比例函数的解析式．

(2)、求 $△ B O M$ 的面积．

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22.
如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D

(1)、求二次函数的表达式。

(2)、在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标

(3)、有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

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23.

(1)、问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.
填空： ① $\frac{B E}{A D}$ 的值为；②∠DBE的度数为.

(2)、类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断 $\frac{B E}{A D}$ 的值及∠DBE的度数，并说明理由.

(3)、拓展延伸
如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.

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图序	①	②	③	④
	1	4	9
	4	9	$16$