人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.2二元一次方程组之整体换元法-在线组卷题库

1. 若关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ ，则关于m，n的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (m - n) + b_{1} (m + n) = c_{1} \\ a_{2} (m - n) + b_{2} (m + n) = c_{2} \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n = - \frac{5}{2} \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n = \frac{5}{2} \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} m = - \frac{5}{2} \\ n = - \frac{1}{2} \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ n = \frac{1}{2} \end{cases}$

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2. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 a - 3 b = 13 ， \\ 3 a + 5 b = 30.9 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} a = 8.3 ， \\ b = 1.2 ， \end{array}$ 则方程组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 2) - 3 (y - 1) = 13 ， \\ 3 (x + 2) + 5 (y - 1) = 30.9 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 8.3 ， \\ y = 1.2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 10.3 ， \\ y = 2.2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 6.3 ， \\ y = 2.2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 10.3 ， \\ y = 0.2 \end{array}$

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3. 已知关于x、y的方程组 ${\begin{matrix} a x + 3 y = 10 \\ b x + 2 y = 6 \end{matrix}$ 的解是 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \end{matrix}$ ，则关于m、n方程组 ${\begin{matrix} a (m + n) + 3 (m - n) = 10 \\ b (m + n) + 2 (m - n) = 6 \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} m = 2 \\ n = 0 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} m = 2 \\ n = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} m = 8 \\ n = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} m = 1 \\ n = 1 \end{array}$

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4. 若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 5 ， \\ y = 6 ， \end{array}$ 则方程组 ${\begin{array}{l} 3 a_{1} x + 2 b_{1} y = a_{1} + c_{1} ， \\ 3 a_{2} x + 2 b_{2} y = a_{2} + c_{2} \end{array}$ 的解为.

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5. 已知方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \end{cases}$ 则关于x，y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x^{2} - b_{1} y = b_{1} + 2 c_{1} \\ a_{2} x^{2} - b_{2} y = b_{2} + 2 c_{2} \end{cases}$ 的解为。

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6. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 \\ 5 x - 6 y = 33 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 (x + y) - 4 (x - y) = 4 \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1 \end{array}$

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7. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 1 \\ 3 x - 2 y = 9 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 (x + y) = x - y \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1 \end{array}$

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8. 解方程组
${\begin{cases} \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 7 \\ \frac{3 （ x + y ）}{2} + \frac{x - y}{3} = 17 \end{cases}$

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9. 解方程组
${\begin{cases} 3 （ x + y - 1 ） + 2 （ x - y ） = 64 ① \\ 4 （ x + y - 1 ） + 5 （ y - x - 3 ） = 78 ② \end{cases}$

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10. 阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组 ${\begin{array}{l} 3 (m + 5) - 2 (n + 3) = - 1 \\ 3 (m + 5) + 2 (n + 3) = 7 \end{array}$ 时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把 $m + 5$ ， $n + 3$ 看成一个整体，设 $m + 5 = x$ ， $n + 3 = y$ ，
原方程组可化为 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = - 1 \\ 3 x + 2 y = 7 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} m + 5 = 1 \\ n + 3 = 2 \end{array}$ ，
∴原方程组的解为 ${\begin{array}{l} m = - 4 \\ n = - 1 \end{array}$ ，
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 (x + y) - 4 (x - y) = 5 \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 0 \end{array}$

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11. 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$ ，求关于x，y的方程组 ${\begin{cases} 3 a_{1} （ x + y ） + 2 b_{1} （ x - y ） = 5 c_{1} \\ 3 a_{2} （ x + y ） + 2 b_{2} （ x - y ） = 5 c_{2} \end{cases}$ 的解.

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12. 如果关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{cases} a x - b y = 16 \\ m x + n y = 15 \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases}$ ，求关于x，y的方程组 ${\begin{cases} a （ x + 2 y ） - b （ x - 2 y ） = 16 \\ m （ x + 2 y ） + n （ x - 2 y ） = 15 \end{cases}$ 的解.

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13. 请阅读下列材料，解答问题材料：解方程组 ${\begin{cases} 5 （ x + y ） - 3 （ x - y ） = 2 \\ 2 （ x + y ） + 4 （ x - y ） = 6 \end{cases}$ ，若设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为 ${\begin{cases} 5 m - 3 n = 2 \\ 2 m + 4 n = 6 \end{cases}$ 用加减消元法解得 ${\begin{cases} m = 1 \\ n = 1 \end{cases}$ ，所以 ${\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ，再解这个方程组得 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$ ，由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法.
问题：请你用上述方法解方程组 ${\begin{cases} \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{2} = 1 \\ 2 (x + y) - 3 x + 3 y = 6 \end{cases}$

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14. 如果关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{cases} 3 x - a y = 16 \\ 2 x + b y = 15 \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases}$ ，不求a，b的值，你能否求出x，y关于的二元一次方程组 ${\begin{cases} 3 (x + y) - a (x - y) = 16 \\ 2 (x + y) + b (x - y) = 15 \end{cases}$ 的解？如果能，请求出方程组的解.

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15. 阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{array}$ ，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(2 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(2 x - 3 y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 $m = 2 x + 3 y$ ， $n = 2 x - 3 y$ ．
原方程组化为 ${\begin{array}{l} \frac{m}{4} + \frac{n}{3} = 7 \\ \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 8 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ ，
把 ${\begin{array}{l} m = 60 \\ n = - 24 \end{array}$ 代入 $m = 2 x + 3 y$ ， $n = 2 x - 3 y$ ，
得 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 60 \\ 2 x - 3 y = - 24 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ ．
∴原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 14 \end{array}$ ．
请你参考小明同学的做法解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) + 3 (y - 2) = 1 \\ (x + 1) - 2 (y - 2) = 4 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{5} = - 3 \\ 2 (x + y) - 3 x + 3 y = 26 \end{array}$

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16. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ 是二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a x - 2 y = 0 \\ 2 b x + a y = 2 \end{array}$ 的解．

(1)、求a，b的值．

(2)、求方程组 ${\begin{array}{l} a (2 x + 1) - 2 (3 y - 5) = 0 \\ 2 b (2 x + 1) + a (3 y - 5) = 2 \end{array}$ 的解．

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17. 解方程组 ${\begin{array}{l} (a - 1) + 2 (b + 2) = 6 \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = 6 \end{array}$
解：设 $a - 1 = x ， b + 2 = y$ ，
原方程组可以化为 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 \\ 2 x + y = 6 \end{array}$
解得 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$
即： ${\begin{array}{l} a - 1 = 2 \\ b + 2 = 2 \end{array} ， ∴ {\begin{array}{l} a = 3 \\ b = 0 \end{array}$ 此种解方程组的方法叫换元法.

(1)、运用上述方法解下列方程组 ${\begin{array}{l} (\frac{a}{4} - 1) + 2 (\frac{b}{5} + 2) = 10 \\ 2 (\frac{a}{4} - 1) + (\frac{b}{5} + 2) = 11 \end{array}$ ；

(2)、已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 7 \end{array}$ ，求关于m、n的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (m - 2) + b_{1} (n + 3) = c_{1} \\ a_{2} (m - 2) + b_{2} (n + 3) = c_{2} \end{array}$ 的解.

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18. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 4 \\ y = - 6 \end{cases}$

(1)、若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ${\begin{cases} a_{1} m + b_{1} n = c_{1} \\ a_{2} m + b_{2} n = c_{2} \end{cases}$ ，则这个方程组的解是 ${\begin{cases} m =_______ \\ n =_______ \end{cases}$ .

(2)、若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ${\begin{cases} 2 a_{1} x + 3 b_{1} y = c_{1} \\ 2 a_{2} x + 3 b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ ，则 ${\begin{cases} 2 x =_______ \\ 3 y =_______ \end{cases}$ ，所以这个方程组的解是 .

(3)、根据以上的方法解方程组 ${\begin{cases} 2 a_{1} x - b_{1} y = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} x - b_{2} y = 5 c_{2} \end{cases}$

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人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.2二元一次方程组之整体换元法

一、单选题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题