浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高一下学期数学期初返校考试试卷

试卷更新日期：2023-02-08 类型：开学考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 已知R是实数集，集合 $A = {x ∣ - 3 < x + 1 \leq 4} ， B = {x ∣ 1 - x > 0}$ ，则下图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${x ∣ - 4 < x \leq 3}$ B、 ${x ∣ - 4 < x < 1}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 3}$ D、 ${x ∣ x \leq - 4}$

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2. 若对任意 $1 \leq x \leq 2$ ，有 $x^{2} \leq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | a \leq 2}$ B、 ${a | a \geq 4}$ C、 ${a | a \leq 5}$ D、 ${a | a \geq 5}$

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3. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) + c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in [0 ， 2 π))$ ，则“ $φ = \frac{3 π}{4}$ ”是“函数 $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \log_{3} x + 3 x$ ， $g (x) = 3^{x} + 3 x$ ， $h (x) = x^{3} + 3 x$ 的零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ C、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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5. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，且对称中心为 $(\frac{π}{3} ， 0)$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 函数 $f (x) = 2^{| x |} \sin 2 x$ 的图像最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， m) ∪ (\frac{4}{m} ， + \infty)$ ，其中 $m < 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、－4 B、4 C、5 D、8

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8. 设 $a = \sin 4$ ， $b = \log_{5} 3$ ， $c = \lg 6$ ， $d = \frac{1}{\lg 15}$ ，则（）

A、 $b < c < d < a$ B、 $a < b < c < d$ C、 $a < c < d < b$ D、 $a < d < b < c$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9. 下列选项中的函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} ， g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (t) = {(t - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ C、 $f (x) = x^{0} ， g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{{(x - 2)}^{2}}} ， g (x) = \frac{1}{x - 2}$

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10. 已知非零实数 $a ， b ， c$ 满足 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等关系一定正确的有（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \leq - 2$ C、 $(a - b)^{a} > (b - c)^{a}$ D、 $\frac{c}{a} \in (- 2 ， - \frac{1}{2})$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 为奇函数，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则以下结论正确的为（）

A、 $φ = \frac{π}{2}$ B、 $ω = 2 k ， k \in N$ C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的值为1或5

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12. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足： $A \cap B = \emptyset$ ， $A \cup B = N^{*}$ ，则称 $(A ， B)$ 为 $N^{*}$ 的二划分，例如 $A = {x | x = 2 k ， k \in N^{*}}$ ， $B = {x | x = 2 k - 1 ， k \in N^{*}}$ 则 $(A ， B)$ 就是 $N^{*}$ 的一个二划分，则下列说法正确的是（）

A、设 $A = {x | x = 3 k ， k \in N^{*}}$ ， $B = {x | x = 3 k \pm 1 ， k \in N^{*}}$ ，则 $(A ， B)$ 为 $N^{*}$ 的二划分 B、设 $A = {x | x = 2^{n} ， n \in N}$ ， $B = {x | x = k \cdot 2^{n} ， k = 2 m + 3 ， m ， n \in N}$ ，则 $(A ， B)$ 为 $N^{*}$ 的二划分 C、存在一个 $N^{*}$ 的二划分 $(A ， B)$ ，使得对于 $\forall x$ ， $y \in A$ ， $x + y \in B$ ；对于 $\forall p$ ， $q \in B$ ， $p + q \in B$ D、存在一个 $N^{*}$ 的二划分 $(A ， B)$ ，使得对于 $\forall x$ ， $y \in A$ ， $x < y$ ，则 $x + y \in B$ ； $\exists p$ ， $q \in B$ ， $p < q$ ，则 $p + q \in A$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ， \\ f [f (x - 10)] ， \end{matrix} \begin{matrix} x \leq 10 \\ x > 10 \end{matrix}$ ，则 $f (30) =$ .

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 3 y + x y = 5$ ，则 $x + 4 y$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{2 π}{3})$ ，关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) + 1 = 0$ 恰有两个实根，求 $m$ 的取值范围.

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四、解答题：本题共6个小题，共70分，

17.

(1)、若 $3 \sin α + \cos α = 0$ ，求 $\cos^{2} α + 2 \sin α \cos α$ 的值；

(2)、设 $f (α) = \frac{2 \sin (π + α) \cos (π - α) - \cos (π + α)}{1 + \sin^{2} α + \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin^{2} (\frac{π}{2} + α)} (1 + 2 \sin α \neq 0)$ ，求 $f (- \frac{23 π}{6})$ 的值.

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18. 集合 $A = {x ∣ x^{2} - 12 x + 32 \leq 0}$ ，集合 $B = {x ∣ \frac{x - 6}{x + 3} < 0}$ ，集合 $M = {x | | x - (2 a + 1) ∣ < a} (a > 0)$ ．

(1)、求集合 $(C_{ℝ} A) \cap B$ ；

(2)、若 $M \subseteq B$ ，求实数a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (x - \frac{π}{3}) \cos x + \sqrt{3} (x \in R)$ .

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{2}$ 且 $α \in [\frac{5 π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ ，求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、记函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $b$ ，且函数 $f (x)$ 在 $[a π ， b π] (a < b)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最小值.

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20. 设函数 $f (x) = \log_{a} (2^{x} + \frac{1}{2^{x}}) (a > 1)$ ．

(1)、判断函数的奇偶性；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数；

(3)、若 $g (x) = \log_{a} (2^{x} + \frac{1}{2^{x}} + 1) (a > 1)$ 是否存在常数 $m$ ， $n \in (0 ， + \infty)$ ，使函数 $g (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[1 + m \log_{a} 2 ， 1 + n \log_{a} 2]$ ，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6} - 2 x) + 1$ ，若关于 $x$ 的不等式
$g^{2} (x) - (3 m + 2) g (x) - m - 23 \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b$ $(a ， b \geq 0)$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时有最大值1和最小值0，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (\log_{2} x) - 2 k \log_{2} x \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 m}{| 2^{x} - 1 |} - 3 m - 1 = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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