浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高二下学期数学期初返校考试试卷

试卷更新日期：2023-02-08 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 若直线 $l_{1} ： x - a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 3 x + y - 5 = 0$ 垂直，则a的值为（）

A、-3 B、1 C、3 D、5

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2. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）

A、甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B、甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C、甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D、甲成绩的方差小于乙成绩的方差

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m ， n)$ ， $m ， n \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、2 B、-2 C、14 D、-14

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4. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在 $A_{1} C$ 上，且 $\vec{A_{1}} P = \frac{1}{4} \vec{A_{1} C}$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A D}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm x$

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6. 若函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - 2 x + \ln x$ 存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、（0，1] B、（0，1） C、（-∞，1] D、（-∞，1）

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7. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为双曲线的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M A N = 135 °$ ，（如图），则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ （ $a$ ， $b \in R$ ）的零点，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，若 $| x_{1} | + x_{2} = x_{3}$ ，则当 $a$ ， $b$ 变化时， $3 a + b$ 的最小值是（）

A、 $- 4 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某保险公司为客户定制了 $5$ 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 $5$ 个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（）

A、 $54$ 周岁以上的参保人数最少 B、 $18 ～ 29$ 周岁人群参保的总费用最少 C、丁险种更受参保人青睐 D、 $30$ 周岁及以上的参保人数占总参保人数的 $20 %$

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10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、若点 $M$ 在平面 $A E F$ 内，则必存在实数 $x$ ， $y$ 使得 $\vec{M A} = x \vec{M E} + y \vec{M F}$ B、直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、点 $A_{1}$ 到直线 $E F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、存在实数 $λ$ 、 $μ$ 使得 $\vec{A_{1} G} = λ \vec{A F} + μ \vec{A E}$

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11. 已知点 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 右支上一点， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 为双曲线 $C$ 的两条渐近线，点 $A$ ， $M$ 在 $l_{1}$ 上，点 $B$ ， $N$ 在 $l_{2}$ 上，且 $P A ⊥ l_{1}$ ， $P B ⊥ l_{2}$ ， $P M / / l_{2}$ ， $P N / / l_{1}$ ， $O$ 为坐标原点，记 $△ P A B$ ， $△ P M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| P A | | P B | = \frac{3}{2}$ B、 $| O P | \geq | A B |$ C、 $3 S_{1} = 2 S_{2}$ D、 $| M N | \geq \sqrt{2}$

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12. 已知a为常数，函数 $f (x) = x (l n x - a x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) > 0$ B、 $f (x_{2}) > - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} < 2$ D、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知事件 $A$ ， $B$ 相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B) =$ .

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2}{5}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为7，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的半径为 $1$ ，则 $C$ 的标准方程为.

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15. 如图，在四棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A A^{'} = 4$ ， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{0}$ ，则 $| \vec{D B^{'}} - (x \vec{A B} + y \vec{A D}) | (x ， y \in R)$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $x f^{'} (x) = x - 2 x^{3} + f (x)$ ， $f (e) = 3 e - e^{3}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的极大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得到的数据位于[75，125]，频率分布直方图如图所示.

(1)、补全频率分布直方图；

(2)、若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 及方差s²；

(3)、当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率.

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18. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；②过点 $(5 ， - 5)$ ；③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行．
问题：已知直线l过点 $P (1 ， - 2)$ ，且____．

(1)、求直线l的一般式方程；

(2)、已知 $M (3 ， - 16)$ ， O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得 $| M N | - | O N |$ 最大．

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19. 已知函数 $f (x) = ln x - m \cdot \frac{x - 1}{x + 1} (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形，点F在棱 $P D$ 上，且P与E位于平面 $A B C D$ 的两侧．

(1)、证明： $C E$ $∥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若 $P A = A D = 5 ， A B = 2 ， D E = 3$ ，且 $\vec{A F}$ 在 $\vec{A D}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{5} \vec{A D}$ ，求平面 $A C F$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值．

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21. 已知等轴双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (4 ， 0)$ ，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.

(1)、求直线l斜率的取值范围；

(2)、设 $△ O M P ， △ O N P ， △ O P Q$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，求 $\frac{S_{3}}{S_{1} \cdot S_{2}}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x + 1$

(1)、若 $f (x)$ 存在零点，求实数a的取值范围；

(2)、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的零点，求证： $\frac{3 x_{0} - 2}{x_{0}^{2}} \leq a < \frac{e^{x_{0}} - 1}{x_{0}^{2}} .$

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