浙江省强基联盟2022-2023学年高三上学期数学1月统测试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $\frac{z + i}{z - 1} = i$ ，则 $| \bar{z} + i | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、0

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2. 已知集合M，N满足 $(M \cup N) \cup N = M$ ，则（）

A、 $N = \emptyset$ B、 $M = N$ C、 $M \subseteq N$ D、 $N \subseteq M$

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3. 已知平面单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 〈 \vec{b} ， \vec{c} 〉 = 〈 \vec{c} ， \vec{a} 〉 = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 记函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为T．若 $π < T < 4 π$ ，且点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 和直线 $x = \frac{3 π}{2}$ 分别是 $y = f (x)$ 图像的对称中心和对称轴，则T＝（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $\frac{10 π}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x + 1}$ ，则 $f (1) f (\frac{1}{2}) f (\frac{1}{3}) ⋯ f (\frac{1}{10}) =$ （）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{121}{60}$ D、 $\frac{121}{90}$

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6. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为第一象限内 $C$ 上一点．若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\sqrt{15}$

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7. 某平面过棱长为2的正方体的一个顶点，且截该正方体所得截面是一个五边形．若该五边形最长的两条边的边长分别是 $\frac{5}{2}$ ， $\sqrt{5}$ ，则下列边长不是该五边形其他三条边的边长的是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 已知函数 $φ (x) = \frac{l n x}{x}$ ．设s为正数，则在 $φ (s) ， φ (s^{2}) ， φ (2 s)$ 中（）

A、 $φ (s^{2})$ 不可能同时大于其它两个 B、 $φ (2 s)$ 可能同时小于其它两个 C、三者不可能同时相等 D、至少有一个小于 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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二、多选题

9. 某次数学考试满分 $150$ 分，共有一万余名考生参加考试，其成绩 $ξ \sim N (90 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $σ$ 的值越大，成绩不低于 $100$ 分的人数越多 B、成绩高于 $105$ 分的比成绩低于 $80$ 分的人数少 C、若考生中女生占 $45 %$ ，根据性别进行分层抽样，则样本容量可以为 $90$ 人 D、从全体考生中随机抽取 $10$ 人，则成绩不低于 $80$ 分的人数 $X$ 可认为服从二项分布

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10. 已知直线 $a$ 与 $b$ 异面，则（）

A、存在无数个平面与 $a ， b$ 都平行 B、存在唯一的平面 $α$ ，使 $a ， b$ 与 $α$ 所成角相等 C、存在唯一的平面 $α$ ，使 $a \subset α$ ，且 $b ∥ α$ D、存在平面 $α$ ， $β$ ，使 $a \subset α ， b \subset β$ ，且 $α ⊥ β$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且交C的左半支于点P，若△AFH是等腰三角形，则（）

A、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、C的离心率为2 C、△AFH的面积为 $\sqrt{3}$ D、 $| F P | = 3 - \sqrt{3}$

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12. 设f（x），g（x）都是定义域为[1，＋∞）的单调函数，且对任意 $x ≥ 1$ ， $f (g (\sqrt{x}) - x) = 0$ ， $g (f (x) + 1) = 2 f (x) + g (x)$ ，则（）

A、 $f (2) < g (1)$ B、 $f (x) \leq g (x) - 2$ C、 $\sum_{k = 1}^{10} f (k) < 54$ D、 $\sum_{k = 1}^{10} \frac{1}{g (k)} < \frac{10}{11}$

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三、填空题

13. ${(x^{2} - \frac{3}{x} + 1)}^{5}$ 的展开式中x的系数为．（用数字作答）

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14. 写出过点 $(3 \sqrt{3} ， 1)$ ，且与x轴和直线 $y = \sqrt{3} x$ 都相切的一个圆的方程．

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15. 第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为 $k (n) = k_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{5730}}$ ，其中 $k_{0}$ 为树木最初生长时的碳－14含量，n为树龄（单位：年），通过测定发现某古树样品中碳－14含量为 $0.6 k_{0}$ ，则该古树的树龄约为万年．（精确到0.01）（附： $l g 3 \approx 0.48 ， l g 5 \approx 0.70$ ）．

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16. 将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 都是递增数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1 ， a_{2} = b_{2} ， a_{8} = b_{4}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{b}{a} = s i n C - s i n (A - B)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设 $a = 2$ ，当 $b + \sqrt{2} c$ 的值最大时，求△ABC的面积．

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19. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， PD⊥底面ABCD， $P D = 2$ ， E是PC的中点，F是PB上的点，且 $B F = 2 P F$ ．

(1)、证明：PD//平面AEF；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的正弦值；

(3)、求三棱锥A－BEF的体积．

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20. 抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：

(1)、在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)、取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；

(3)、取了 $n (n = 2 ， 3 ， 4$ ， …）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线过点P $(- \frac{p}{2} ， 0)$ ，交C于A，B两点，且当 $k = \frac{1}{2}$ 时， $| A F | + | B F | = 16$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、设C在A，B处的切线交于点Q，证明 $\frac{| A F |}{| B F |} = \frac{| A Q |^{2}}{| B Q |^{2}}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{1 - x} - a x l n x (a > \frac{1}{4})$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 3 - 2 x$ ，求 $a$ 的值；

(2)、证明： $f (m) + f (\frac{1}{n}) + f (\frac{n}{m}) \leq 3$ ．

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