浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | 2 \leq x < 5}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${1 ， 5}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 5}$ D、 ${1}$

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2. 若复数 $z$ 满 $(z + 1) i = z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. $\sqrt{5} s i n (\frac{π}{2} + α) + 2 = 0$ ， $α \in (- π ， 0)$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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4. 早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（）

A、 $4800 π c m^{2}$ B、 $5600 π c m^{2}$ C、 $6400 π c m^{2}$ D、 $11200 π c m^{2}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 - x)$ ，则 $x > 0$ 是向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为钝角的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件

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6. 从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（）

A、70% B、65% C、60% D、50%

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7. 已知 $a = 2^{3 l n 10}$ ， $b = 1 0^{3 l n 2}$ ， $c = 3^{4 l n 3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a = b$ D、 $a = b < c$

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8. 定点A和动点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点，点 $B$ 与点A关于 $x$ 轴对称，其中 $P$ 与A、 $B$ 不重合，且 $P$ 的纵坐标为 $t$ ，直线 $A P$ ， $B P$ 的斜率之差为 $m$ ，斜率之积为 $n$ ，当 $t$ 从小到大变化时， $\frac{m}{n}$ 的变化情况是（）

A、先变小后变大 B、先变大后变小 C、一直不变 D、以上情况都不对

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二、多选题

9. 数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = \frac{31 - n}{13}$ ，它的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 B、当 $n = 30$ 或者 $n = 31$ 时， $S_{n}$ 有最大值 C、当 $n = 17$ 或者 $n = 18$ 时， $T_{n}$ 有最大值 D、 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 都没有最小值

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10. 设点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是曲线 $\frac{x^{2}}{100} + y^{2} = 1$ 上的依次四点，对于四边形 $A B C D$ ，下列可能成立的是（）

A、四边形 $A B C D$ 有三个内角为锐角 B、四边形 $A B C D$ 有三个内角为钝角 C、四边形 $A B C D$ 有且仅有三边相等 D、四边形 $A B C D$ 为非等腰的梯形

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) = - (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{2}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个极大值点 B、 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{x_{1} + 2 x_{2}}{3}$ 处切线的斜率小于零 D、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，中心为 $O$ ，以 $O$ 为球心的球与四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的四个面相交所围成的曲线的总长度为 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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三、填空题

13. 若 ${(2 - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6}$ ，则 $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{6} | =$ .

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 两个焦点， $P$ 是双曲线上的一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为.

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15. 已知直线 $y = - x + 2 m + 4$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = m^{2} + 14 m + 3$ 和曲线 $y = \frac{n}{x}$ 都经过同一点 $P$ ，则 $n$ 的取值范围是.

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16. 函数 $y = \sqrt{3} | x | + \sqrt{3} | x + 2 | + 2 \sqrt{(1 - x) (x + 3)}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 将等差数列 ${a_{n}}$ 排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为 $- 20$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{m}$ 为数阵中第 $m$ 行的第一个数，求 $\frac{1}{10 - b_{2}} + \frac{1}{10 - b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10 - b_{100}}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 上的点，过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D$ 的截面交 $B C$ 于 $E$

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求几何体 $C D E - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B D \cdot s i n ∠ C A D = A B \cdot s i n ∠ B A D$

(1)、证明： $A C = C D$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ， $s i n ∠ B A D = \frac{1}{4}$ ，求 $c o s C$ .

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20. 某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：
复习时间 $t$
2
3
5
6
8
12
16
考试分数 $y$
60
69
78
81
85
90
92
甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数 $y = l n x$ 具有类似特征中，因此，甲同学作 $x = l n t$ 变换，得到新的数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 7)$ ，重新画出散点图，发现 $y$ 与 $x$ 之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立 $y$ 与 $x$ 之间的线性经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .
考前一周复习投入时间（单位：h）
政治成绩
合计
优秀
不优秀
≥6h
<6h
合计
50
附： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1$ ， $l n 5 \approx 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 1049.6$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 26.0$ ，
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828

(1)、预测当 $t = 1$ 时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；

(2)、经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，过点 $P (4 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ，过 $A$ ， $B$ 作直线 $l_{1}$ ： $x = t$ 的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，记 $△ A M P$ ， $△ M N P$ ， $△ B N P$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，问：是否存在实数 $t$ ，使得 $\frac{S_{1} S_{3}}{{S_{2}}^{2}}$ 为定值？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = - x^{2} + a$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值；

(2)、设 $0 < a < 1$ ，证明：曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 有两条公切线.

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考前一周复习投入时间（单位：h）	政治成绩		合计
考前一周复习投入时间（单位：h）	优秀	不优秀	合计
≥6h
<6h
合计			50

复习时间 $t$	2	3	5	6	8	12	16
考试分数 $y$	60	69	78	81	85	90	92

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828