山东省枣庄市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N^{*} | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则满足 $B ⊆ A$ 的非空集合B的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知i是虚数单位，则 $\frac{\sqrt{2}}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} i$

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3. 已知 $D$ 为线段 $A B$ 上的任意一点， $O$ 为直线 $A B$ 外一点， $A$ 关于点 $O$ 的对称点为 $C$ ，若 $\vec{O D} = x \vec{O B} + y \vec{O C}$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载有如下一个问题：“今有圆亭，下周三丈，上周两丈，高一丈，问积几何”.意思为“今有一圆台体建筑物，下周长为3丈，上周长为2丈，高为1丈，问它的体积为多少”，则该建筑物的体积（单位：立方丈）为（）

A、 $\frac{20 + 4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{5 + \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{19}{3 π}$ D、 $\frac{19}{12 π}$

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5. 已知 $2 s i n θ (1 + s i n θ + 2 c o s θ) + c o s 2 θ = 1$ ，则 $t a n θ$ 的值不可以为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、1 C、0 D、 $\sqrt{3}$

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6. $P A ， P B ， P C$ 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60 °$ ，那么直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $A$ 、 $B$ 分别是上下顶点，过下焦点 $F (0 ， - c)$ 斜率为 $2 \sqrt{3}$ 的直线 $l$ 上有一点 $P$ 满足 $△ P A B$ 为等腰三角形，且 $∠ P A B = 120 °$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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8. 已知 $k (e^{k x} + 1) - (1 + \frac{1}{x}) l n x > 0$ ，则实数 $k$ 的可能取值为（）

A、－1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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二、多选题

9. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{4}) = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有四个零点

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则（）

A、直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成的角为90° B、 $B C / /$ 平面 $A_{1} B_{1} D$ C、平面 $A B C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ D、点A到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知直线 $l ： k x - y + k - 2 = 0 (k \in R)$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 20$ ，则（）

A、圆心C到l距离的最大值为 $\sqrt{6}$ B、圆上至少有3个点到l的距离为 $\sqrt{5}$ C、圆上到l的距离为 $2 \sqrt{5}$ 的点有且只有2个 D、若 $k = - \frac{1}{2}$ ， l与C相交于A，B两点，过A，B两点作C的切线，则两切线的交点坐标为 $(- 2 ， - 4)$

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12. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且 $f (x + 2) - g (1 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x + 1)$ ，且 $g (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 B、函数 $y = g^{'} (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2022} g (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2021} f (k) g (k) = 0$

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三、填空题

13. 已知“ $\exists x_{0} \in R$ ， $a x_{0}^{2} + 1 < 0$ ”为假命题，则实数a的取值范围是.

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14. 若函数 $f (x) = \frac{2 x + m}{x + 1}$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值为 $3$ ，则实数 $m =$ .

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{1000} = S_{1023}$ ，则 $S_{2022} =$ .

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ 是其左、右焦点，点 $M$ 在椭圆上且满足 $s i n ∠ M F_{2} F_{1} = 2 s i n ∠ M F_{1} F_{2}$ .若 $M$ 到直线 $2 x + y + 2 = 0$ 的距离为 $d$ ，则 $| M F_{1} | + 2 d$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知在 ${(x - 2)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 $(1 - \frac{1}{x}) {(x - 2)}^{n}$ 展开式中的常数项.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n + 1} - 1) \cdot (a_{n + 2} - 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + c = 8$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B$ 的取值范围；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $D$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $E$ 为线段 $C C_{1}$ 的中点， $A C = C E = 1$ ，平面 $A B E ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ A E$ ；

(2)、三棱锥 $E - A B D$ 的外接球的表面积为 $\frac{13 π}{2}$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (\sqrt{x - 1} - 1) < 1$ 的解集；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时，求证 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < \frac{3 - x_{0}}{2}$ .

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22. 如图，已知点 $B (2 ， 1)$ ，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、若 $E (3 ， 0)$ ， C，G是点M的轨迹在第一象限的点（C在G的右侧），且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为 $\frac{15}{2}$ ，求 $t a n ∠ C E G$ .

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