山东省济南市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 2} ， B = {x | (x + 2) (x - 3) \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x \geq 3}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ D、 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = - 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = s i n 2 x$ B、 $g (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = - c o s 2 x$

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4. 由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（）

A、3 B、6 C、9 D、24

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5. 若正四面体的表面积为 $8 \sqrt{3}$ ，则其外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $12 π$ C、 $8 \sqrt{6} π$ D、 $32 \sqrt{3} π$

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6. 已知非零向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 满足 $\frac{\vec{A B} \cdot \vec{B C}}{| \vec{A B} |} = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{C B}}{| \vec{A C} |}$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，随机变量 $X$ 满足 $P (X = i) = a_{i} (0 < a_{i} < 1)$ ， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，则 $d$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{6})$ C、 $(- \frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{6} ， \frac{1}{6})$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e l n x}$ ，关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 (a + 1) f (x) + a^{2} + 2 a = 0$ 至少有三个互不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，其样本平均数为 $\bar{x}$ .现加入一个新数据 $x_{n + 1}$ ，且 $x_{n + 1} <$ $\bar{x}$ ，组成新的样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n} ， x_{n + 1}$ ，与原样本数据相比，新的样本数据可能（）

A、平均数不变 B、众数不变 C、极差变小 D、第20百分位数变大

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 2$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、 $a \geq 0$ B、 $x_{1} x_{2} < 0$ C、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 2)$ 中心对称

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内（不含边界）的动点，则（）

A、 $D_{1} O ⊥ A C$ B、存在一点 $P$ ，使得 $D_{1} O / / B_{1} P$ C、三棱锥 $A - D_{1} D P$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、若 $D_{1} O ⊥ P O$ ，则 $△ C_{1} D_{1} P$ 面积的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点 $P$ 位于第一象限，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与 $x$ 轴交于点 $G$ ，与 $y$ 轴交于点 $H (0 ， - \frac{1}{2})$ ，则（）

A、四边形 $H F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $4 + \sqrt{5}$ B、直线 $A_{1} P ， A_{2} P$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ C、 $| F_{1} G | ： | F_{2} G | = 3 ： 2$ D、四边形 $H F_{1} P F_{2}$ 的面积为2

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$ ，则角A的大小为．

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14. 曲线 $y = 2 l n x - x$ 在 $x = 1$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

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15. 甲袋中有 $4$ 个白球、 $6$ 个红球，乙袋中有 $4$ 个白球、 $2$ 个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{2 - x}$ ，所有满足 $f (a) + f (b) = 0$ 的点 $(a ， b)$ 中，有且只有一个在圆 $C$ 上，则圆 $C$ 的标准方程可以是.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）

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四、解答题

17. 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响.已知批次甲的三道工序次品率分别为 $\frac{1}{50}$ ， $\frac{1}{49}$ ， $\frac{1}{48}$ .
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{a}$
$2.706$
$3.841$
$7.879$
$10.828$

(1)、求批次甲芯片的次品率；

(2)、该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手机上使用.现对使用这款手机的100名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，安装批次甲的有40名，其中对开机速度满意的有30名；安装批次乙的有60名，其中对开机速度满意的有55名.试整理出 $2 \times 2$ 列联表（单位：名），并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关.
批次
是否满意
合计
满意
不满意
甲
乙
合计

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18. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中，若存在正整数 $k$ ，使得 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + k} = a_{n}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $k$ 型数列”.已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = - \frac{1}{a_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为“3型数列”；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 n - 1$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前15项和 $S_{15}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\frac{\sqrt{2} s i n A + 1}{1 - \sqrt{2} c o s A} = \frac{s i n 2 C}{1 + c o s 2 C}$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $C$ ；

(2)、若 $B \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 是菱形， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、已知 $∠ A B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 2$ ，平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 的交线为 $l$ .在 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使直线 $A_{1} B$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{4}$ ?若存在，求线段 $B_{1} P$ 的长度；若不存在，试说明理由.

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21. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $M$ 到点 $A (2 ， 0)$ 的距离与它到直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ 的距离之比为2.记 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P$ 是曲线 $E$ 上一点，且点 $P$ 不在 $x$ 轴上.作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q$ ，证明：曲线 $E$ 在点 $P$ 处的切线过 $△ P Q A$ 的外心.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x - 1}} + a l n x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最小值；

(2)、若存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) = 0$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）判断 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的零点个数，并说明理由.

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$α$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{a}$	$2.706$	$3.841$	$7.879$	$10.828$

批次	是否满意		合计
批次	满意	不满意	合计
甲
乙
合计