山东省滨州市惠民县2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 4 ， x}$ ， $B = {1 ， x^{2}}$ ，且 $A ∩ B = B$ ，则 $x$ 的所有取值组成的集合为（）

A、 ${- 2 ， 0}$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2}$

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2. 已知 $(1 + i) z = 3 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 若“ $1 < x < 2$ ”是“不等式 $(x - a)^{2} < 1$ 成立”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 4 C D$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 上，且 $C E = 3 E B$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{5}{8} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{5}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{13}{16} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{13}{8} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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5. 设a，b为正数，若圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ 关于直线 $a x - b y + 1 = 0$ 对称，则 $\frac{a + 2 b}{a b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、6 D、10

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6. 甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、 $α ∩ β = l$ ， $m \subset α$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ β$ D、 $m ⊥ α$ ， $m ∥ n$ ， $α ∥ β$ ，则 $n ⊥ β$

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8. 某钟表的秒针端点 $A$ 到表盘中心 $O$ 的距离为 $5 c m$ ，秒针绕点 $O$ 匀速旋转，当时间 $t = 0$ 时，点 $A$ 与表盘上标“12”处的点 $B$ 重合．在秒针正常旋转过程中， $A$ ， $B$ 两点的距离 $d$ （单位： $c m$ ）关于时间 $t$ （单位： $s$ ）的函数解析式为（）

A、 $d = 10 s i n \frac{π}{60} t (t \geq 0)$ B、 $d = 10 c o s \frac{π}{60} t (t \geq 0)$ C、 $d = {\begin{array}{l} 10 s i n \frac{π}{60} t ， 120 k \leq t \leq 60 + 120 k ， k \in N \\ - 10 s i n \frac{π}{60} t ， 60 + 120 k < t < 120 (k + 1) ， k \in N \end{array}$ D、 $d = {\begin{array}{l} 10 c o s \frac{π}{60} t ， 120 k \leq t \leq 30 + 120 k ， k \in N \\ - 10 c o s \frac{π}{60} t ， 30 + 120 k < t < 90 + 120 k ， k \in N \end{array}$

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二、多选题

9. 已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为 $X$ ， $Y$ ）均服从正态分布， $X ∼ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ∼ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）
参考数据：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则
$P (μ - σ \leq Z \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ \leq Z \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$

A、 $P (μ_{1} - 2 σ_{1} \leq X \leq μ_{1} + σ_{1}) \approx 0.8186$ B、对于任意的正数 $t$ ，有 $P (X ≤ t) > P (Y ≤ t)$ C、 $P (Y \geq μ_{1}) < P (Y \geq μ_{2})$ D、 $P (X \leq σ_{1}) < P (X \leq σ_{2})$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $g (x) = f (2 x)$ 的结论中，正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[\frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2} ， \frac{11 π}{24} + \frac{k π}{2}] ， (k \in Z)$ C、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， 0]$ 时， $g (x)$ 的最大值为1 D、 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有7个零点

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 3$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n + 1} > S_{n}$ B、 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 ${\frac{S_{n}}{2^{n}}}$ 是单调递增数列 D、 $S_{n} \geq 2 a_{n}$

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12. 设点 $A$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别为 $(- 1 ， 1)$ ， $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $| P A | + | P F_{2} | < 5$ C、 $| P A | + | P F_{1} | > 1$ D、有且仅有3个点 $P$ ，使得 $△ P A F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以F₁F₂为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为.

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14. “中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是 $R$ ，球冠的高度是 $h$ ，则球冠的面积 $S = 2 π R h$ ）．已知天眼的球冠的底的半径约为 $250$ 米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为 $25$ 万平方米，则天眼的球冠高度约为米．（参考数值 $\sqrt{\frac{4}{π} - 1} \approx 0.52$ ）

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15. 10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有种

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k x - e^{- x} + \frac{k}{2} ， x < 0 \\ e^{x} (x + 1) ， x \geq 0 \end{array}$ （ $e$ 为自然对数的底数），若关于 $x$ 的方程 $f (- x) = - f (x)$ 有且仅有四个不同的解，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} b - a s i n C = \sqrt{3} c c o s A$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $∠ A C B$ 的平分线 $C D$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2$ ．求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求满足条件 $(1 - \frac{1}{S_{2}}) (1 - \frac{1}{S_{3}}) ⋯ (1 - \frac{1}{S_{n}}) \geq \frac{1013}{2023} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 的正整数 $n$ 的最大值．

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19. 如图1，在平面六边形 $A D C F B E$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 正方形， $△ A B E$ 和 $△ B C F$ 均为正三角形，分别以 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 为折痕把 $△ A D C$ ， $△ B C F$ ， $△ A B E$ 折起，使点 $D$ ， $F$ ， $E$ 重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - A B C$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 是棱 $P A$ 上的一点，当直线 $B M$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，求二面角 $M - B C - A$ 的余弦值．

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20. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

支持
不支持
合计
中型企业
60
20
80
小型企业
180
140
320
合计
240
160
400
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；

(2)、从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设 $X$ 为所发奖励的总金额（单位：万元），求 $X$ 的分布列和均值．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，点 $M$ 为直线 $y = - 1$ 上的动点（点 $M$ 的横坐标不为0），过点 $M$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ．

(1)、证明：直线 $A B$ 过定点；

(2)、若以点 $N (0 ， 4)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求四边形 $A M B N$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + s i n x - 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $1 \leq a < 2$ 时，证明：函数 $g (x) = (x - 2) f (x)$ 有且仅有3个零点．

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	支持	不支持	合计
中型企业	60	20	80
小型企业	180	140	320
合计	240	160	400

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$