江西省新余市2023届高三上学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则（）

A、z的虚部为1 B、 $| z | = 2$ C、 $z^{2}$ 为纯虚数 D、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0} ， B = {1 ， 2}$ ，则集合 $C = {z | z = x^{2} + y^{2} ， x \in A ， y \in B}$ 的真子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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3. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将这两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（）

A、平均数为6 B、平均数为6.5 C、方差为12.5 D、方差为13

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4. 已知直线 $l_{1}$ ： $(m - 2) x - 3 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ； $m x + (m + 2) y + 1 = 0$ 相互平行，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、1 C、 $- 1$ D、 $- 4$ 或1

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5. 如图，在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = C C_{1} ， A B ⊥ B C ， E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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6. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - α) = - \frac{2}{5}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} + 2 α)$ 的值等于（）

A、 $- \frac{17}{25}$ B、 $\frac{17}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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7. 一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{5}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$ B、 $- \frac{3}{5}$ 或 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$ 或 $- \frac{4}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上恰好取到一次最大值与一次最小值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 7]$ B、 $[4 ， 7)$ C、 $(7 ， 10]$ D、 $[7 ， 10)$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点D在线段AB上，点E在线段 $A C$ 上，且满足 $2 A D = D B = 2 ， A E = E C = 2$ ， $C D$ 交 $B E$ 于F，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{17}{5}$ C、 $\frac{29}{5}$ D、 $\frac{32}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ ，正实数a，b满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{65}{8}$

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11. 已知 $a = \frac{1}{e l n \sqrt{2}} ， b = \frac{2}{\sqrt{e}} ， c = \frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}$ （其中 $e$ 为自然常数），则 $a$ ､ $b$ ､ $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

12. 如图，过双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右支上一点 $P$ 作双曲线的切线 $l$ 分别交两渐近线于 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $D$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{△ A O B} = b$ B、 $S_{△ O A P} = S_{△ O B P}$ C、 ${| A B |}_{m i n} = 2 \sqrt{b^{2} + 1}$ D、若存在点 $P$ ，使 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{4}$ ，且 $\vec{F_{1} D} = 2 \vec{D F_{2}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为 $e = 2$

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三、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，所有项的二项式系数之和为.

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14. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2 x + t)$ 的定义域是 $(m ， m + 4)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调增区间为.

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15. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的外接球 $O$ 的半径为 $2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ， $A D = 2 A C = 4$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积为.

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16. 设 $a > 0$ ， $b < \frac{2}{e}$ （ $e$ 为自然对数的底数）， $f (x) = (x^{2} - 2 a x) l n x - \frac{b x^{3}}{3} + \frac{(a b - 1) x^{2}}{2} + 2 a x$ ，若 $x = a$ 不是函数 $f (x)$ 的极值点，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3}{4 - a_{n}} (n \in N^{+})$

(1)、求证： ${\frac{3 - a_{n}}{a_{n} - 1}}$ 是等比数列；

(2)、设 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n} = b_{n} (n \in N^{+})$ ，求和： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}}$

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18. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1， $E 、 F 、 G$ 分别是正方形的三边 $A B 、 C D 、 A D$ 的中点，先沿着虚线段 $F G$ 将等腰直角三角形 $F D G$ 裁掉，再将剩下的五边形 $A B C F G$ 沿着线段 $E F$ 折起，连接 $A B 、 C G$ 就得到了一个“刍甍”(如图2)．

(1)、若 $O$ 是四边形 $E B C F$ 对角线的交点，求证： $A O$ ∥平面 $G C F$

(2)、若二面角 $A - E F - B$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，求直线 $A B$ 与平面 $G C F$ 所成角的正弦值．

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19. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.

(1)、如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

(2)、若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

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20. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $O$ 为坐标原点， $| O A | = 2 | O B |$

(1)、若 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程：

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 作斜率 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于不同两点 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 在椭圆的内部，在椭圆上存在点 $Q$ ，使 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O Q}$ ，记四边形 $O M Q N$ 的面积为 $S_{1}$ ，求 $\frac{S_{1}}{k}$ 的最大值.

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21. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a e^{x - 1} - l n (a x)$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2 e}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 1$ 有且只有一个公共点，求 $a$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = | 2 t - 1 | \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ cos θ + 2 m ρ sin θ - m^{2}$ .

(1)、求 $C$ 和 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $M$ 恰有4个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，证明.

(1)、 $a^{2} b^{3} + b^{2} a^{3} \leq 2$ ；

(2)、 $\frac{a^{3} + 2 b}{a + 2} + \frac{b^{3} + 2 a}{b + 2} \geq a + b$

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