江西省赣州市2023届高三上学期理数1月期末考试试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $M = {x | 2^{x} > 1}$ ， $N = {x | l g (x^{2} - 2 x + 4) > 0}$ ，则 $∁_{R} (M \cap N) =$ （）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + 3} ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 1)]$ =（）

A、-1 B、0 C、 $l n 2$ D、2

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3. 若数列 ${a_{n} + 2}$ 是等比数列，且 $a_{2} = - 1$ ， $a_{4} = 2$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 66$ B、 $- 64$ C、62 D、64

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4. 为了研究某班学生的右手一拃长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取了12名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，已知 $\sum_{i = 1}^{12} x_{i} = 240$ ， $\sum_{i = 1}^{12} y_{i} = 2040$ ， $\hat{b} = 6.5$ ，若某学生的右手一拃长为22厘米，据此估计其身高为（）

A、175 B、179 C、183 D、187

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5. 若复数 $z = a + b i$ （a， $b \in R$ ， $\bar{z}$ 为其共轭复数），定义： $\underline{z} = - a + b i$ .则对任意的复数 $z = a + b i$ ，有下列命题： $p_{1}$ ： $| z | = | \bar{z} | = | \underline{z} |$ ； $p_{2}$ ： $\bar{z} + \underline{z} = 0$ ； $p_{3}$ ： $z \cdot \bar{z} = z \cdot \underline{z}$ ； $p_{4}$ ：若 $b \neq 0$ ，则 $\frac{z}{\underline{z}}$ 为纯虚数.其中正确的命题个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 程大位（1533~1606），明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？（）

A、14尺 B、14.5尺 C、15尺 D、15.5尺

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7. 已知过抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 的焦点F的直线l被C截得的弦长为8，则坐标原点O到l的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 若 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的各项系数和为729， $(2 x - 3) (x - 1)^{n}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 90$ B、 $- 30$ C、30 D、90

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9. 直线 $y = 2 a$ 与双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）交于M，N两点，若 $△ M O N$ 为直角三角形（其中O为坐标原点），则双曲线E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + a c o s 2 x$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{4}]$ 的最小值为a，则实数a的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A C$ ， $B C ⊥ A C$ ，且 $P A = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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12. 已知 $a = l n \frac{11}{10}$ ， $b = \frac{1}{10}$ ， $c = \frac{2}{21}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 均为单位向量且夹角为 $4 5^{°}$ ，则 $| \vec{e_{1}} - \sqrt{2} \vec{e_{2}} | =$ .

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14. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $c o s 2 α$ =.

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15. 如图， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 是同一平面内的三条平行直线， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是1， $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 间的距离是2，等腰直角三角形 $A B C$ 的三顶点分别在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 上，则 $△ A B C$ 的斜边长可以是（写出一个即可）.

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16. 斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ，且 $a_{n + 2} =$ $a_{n + 1} + a_{n}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列.已知数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 3} + (- 1)^{a_{n}} b_{n} = n$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前12项和为86，则 $b_{1} + b_{2} =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $c o s B + s i n (\frac{A + C}{2}) = 0$ .

(1)、求B的值；

(2)、若 $A B$ 与 $B C$ 边上的高之比为3∶5，且 $b = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是凸四边形，且 $P A = A B = A D = 3$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $C B = C D = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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19. 设有标号为1，2，3，…，n的n个小球（除标号不同外，其余均一样）和标号为1，2，3，…，n的n个盒子，将这n个小球任意地放入这n个盒子，每个盒子放一个小球，若i（ $i = 1$ ， 2，3，…，n）号球放入了i号盒子，则称该球放对了，否则称放错了.用 $ξ$ 表示放对了的球的个数.

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $ξ = 0$ 的概率；

(2)、当 $n = 5$ 时，求 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $Q (1 ， \frac{3}{2})$ 且离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $P (1 ， 2)$ 作两条斜率之和为0的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交C于A，B两点， $l_{2}$ 交C于M，N两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在实数 $λ$ 使得 $| P A | \cdot | P B | = λ | P M | \cdot | P N |$ ？若存在，请求出 $λ$ 的值，若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x^{3} + n x^{2} - x - 1$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = e x$ .

(1)、求实数m，n的值；

(2)、证明：对任意的 $x \in R$ ，有 $f (x) + e x^{3} - 2 e x^{2} \geq 0$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (4 ， 3)$ ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x + 2 |$ 的最小值为 $m$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设 $a ， b ， c$ 为正数，且 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{a^{2} + b^{2}}{c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{a} \geq 2$ ．

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