江苏省南通市区、启东市、通州区2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ - 1 < x < 3} ， B = {x ∣ x^{2} \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x \leq \sqrt{3}}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq \sqrt{3}}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1}$

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2. $(\sqrt{3} + i) (c o s 6 0^{∘} - i s i n 6 0^{∘}) =$ （）

A、 $- i$ B、2 C、 $1 - \sqrt{3} i$ D、 $\sqrt{3} - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3) ， \vec{b} = (m ， 1)$ ，若 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油 $200 L$ ，若它的上､下底面边长分别为 $60 c m$ 和 $40 c m$ ，则它的深度约为（）

A、 $115 c m$ B、 $79 c m$ C、 $56 c m$ D、 $26 c m$

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5. 南通地铁1号线从文峰站到南通大学站共有6个站点，甲､乙二人同时从文峰站上车，准备在世纪大道站､图书馆站和南通大学站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲､乙二人在不同站点下车的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲： $f (x)$ 是奇函数；
乙： $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称；
丙 $： f (22) = 0$ ；
$丁： f (x + 6) = f (x)$
如果有且仅有一个假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，若 $△ M O F$ 的重心 $G$ 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知 $a = e^{- 1.1} ， b = \frac{1}{2} ， c = 1 - l n (e - 1)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、数据 $1 ， 3 ， 3 ， 5 ， 5 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11$ 的众数和第60百分位数都为5 B、样本相关系数 $r$ 越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (8 ， \frac{3}{4})$ ，则方差 $D (2 ξ) = 6$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，则 $P (| X | < \frac{1}{2}) = 2 P (X > \frac{1}{2})$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、点 $(- \frac{5 π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{11 π}{12})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象

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11. 过直线 $l ： 2 x + y = 5$ 上一点 $P$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为 $A ， B$ ，则（）

A、若直线 $A B ∥ l$ ，则 $| A B | = \sqrt{5}$ B、 $c o s ∠ A P B$ 的最小值为 $\frac{3}{5}$ C、直线 $A B$ 过定点 $(\frac{2}{5} ， \frac{1}{5})$ D、线段 $A B$ 的中点 $D$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{10} π$

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12. 已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P B = 1$ ， $A B = B C$ ，设二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $θ$ ， $M$ 是 $P C$ 的中点，当 $θ$ 变化时，下列说法正确的是（）

A、存在 $θ$ ，使得 $P A ⊥ B C$ B、存在 $θ$ ，使得 $P C ⊥$ 平面 $P A B$ C、点 $M$ 在某个球面上运动 D、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为 $\frac{4}{3} π$

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三、填空题

13. ${(x^{2} - x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数是.

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14. 若抛物线 $x^{2} = 12 y$ 上的一点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离为 $2 \sqrt{7}$ ，则点 $P$ 到该抛物线焦点的距离为.

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15. 已知直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = l n (1 + x)$ 与 $y = 2 + l n x$ 的公切线，则 $k + b =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} > a_{n} > 0 ， a_{n + 1}^{2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是：当 $a_{1} = \frac{6}{5}$ 时，记 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{a_{n} - 1}$ ，且 $k < \sum_{i = 1}^{2023} b_{i} < k + 1$ ，则整数 $k =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3 n - 4$

(1)、求证： ${a_{n} + 3 n - 1}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$

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18. 记 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $3 c o s C = 2 s i n A s i n B$

(1)、求 $\frac{s i n C}{s i n A s i n B}$ 的最小值；

(2)、若 $A = \frac{π}{6} ， a = \sqrt{7}$ ，求 $c$ 及 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若 $P A = A B ， M$ 为 $P C$ 上的点，当 $P C$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值最大时，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值.

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20. 2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分 $7 ： 5$ 战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为 $2 ： 0$ ，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

(1)、假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有 $\frac{3}{5}$ 的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数 $X$ 的分布列期望；

(2)、现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方 $0 ： 0$ 战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以 $6 ： 5$ 获得冠军的概率.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1 \geq b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ （与 $x$ 轴不重合）交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且当 $M$ 为 $C$ 的上顶点时， $△ M N F_{1}$ 的周长为8，面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{7}$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A$ 是 $C$ 的右顶点，设直线 $l ， A M ， A N$ 的斜率分别为 $k ， k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $k (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}})$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a (x + 1)}{x - 1}$

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $a$ 的范围，并证明 $\frac{1}{l n x_{1} + a} + \frac{1}{l n x_{2} + a} < 0$

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