湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 3} ， B = {0 ， 2 ， 3}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B)$ 为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2}$

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2. 设复数 $z i = 1 + 2 \bar{z} i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - \sqrt{5} i$ C、 $i$ D、 $- \frac{1}{3} i$

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3. 如图所示的矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 满足 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D} ， G$ 为 $E F$ 的中点，若 $\vec{A G} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ μ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、2

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4. 在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为 $8 c m$ 的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（）（忽略制作过程中的损耗， $π \approx 3.14$ ）

A、 $8.7 c m^{3}$ B、 $9.6 c m^{3}$ C、 $10.6 c m^{3}$ D、 $12.4 c m^{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \geq 0 \\ l n (a x) ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (0) + f (b) = 0$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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6. $2022$ 年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9$ 的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为10的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{5}{36}$ D、 $\frac{4}{45}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (0 < ω < 6 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (\frac{7 π}{12} + x) = f (\frac{7 π}{12} - x)$ ， $f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则 $ω ， φ$ 对应的值为（）

A、 $4 ， \frac{π}{3}$ B、 $3 ， \frac{π}{6}$ C、 $2 ， \frac{π}{3}$ D、 $1 ， \frac{π}{6}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，若方程 $f^{2} (x) + (1 - m) f (x) - m = 0$ 有3个不等的实根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$

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二、多选题

9. 如图为国家统计局于2022年11月15日发布的社会消费品零售总额同比增速折线图，则2021年10月至2022年10月同比增速的（）（注：2022年 $1 - 2$ 月份合并统计为一个数据）

A、平均数大于0 B、中位数为 2.7 C、极差为17.8 D、第 25 百分位数为 $- 3.5$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有2个极大值点 B、 $f (x)$ 有1个极小值点 C、 $f^{'} (- 2) = 15$ D、点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 1$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则（）

A、C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x - 1$ 与 $C$ 有2个公共点 D、过右焦点的直线 $l$ 与 $C$ 的交点分别为 $A ， B$ ，当 $| A B | = 4$ 时，这样的直线 $l$ 有3条

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 关于直线 $x = 2$ 对称， $g (4 + 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f^{'} (2) = 0$ B、 $g (2024) = g (- 2020)$ C、 $g (2) = g (18)$ D、 $g (4) = 2$

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三、填空题

13. $(x - y) (x + 2 y)^{5}$ 的展开式中含 $x^{3} y^{3}$ 项的系数为（用数字作答）．

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14. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 ， A D = 3$ ，点 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E ， B_{1} C$ 所成角的余弦值为.

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15. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，过点 $(2 ， \sqrt{3})$ ，若圆 $C$ 与圆 $O$ 外切，则圆 $C$ 的方程为.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，其中点 $M$ 在第一象限，点 $P$ 在直线 $x = - 2$ 上运动，记 $\vec{O P} = λ \vec{O M} + μ \vec{O N} (λ ， μ \in R)$ .
①当 $\vec{O P} ∥ \vec{O M}$ 时，有 $S_{△ F M P} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ；
②当 $\vec{O P} ⊥ \vec{O N}$ 时，有 $λ = - \frac{3}{2}$ ；
③ $△ P M N$ 可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3 ， S_{n} = a_{n} + n^{2} - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} ， T_{n} = b_{1} b_{2} + b_{2} b_{3} + ⋯ + b_{n} b_{n + 1}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(2 - s i n A) c o s B - 1 = c o s A s i n B - 2 c o s B s i n C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、证明： $a^{2} + c^{2} \leq 2 b^{2}$ .

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19. 某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为A类体操），原来的大课间运动体操（记为B类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关，分别对使用A类体操与B类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得到如下数据：

喜爱
不喜爱
A类体操
70
30
B类体操
40
60
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$x_{a}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

(1)、试根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关？

(2)、从样本的喜爱大课间运动的学生中，按A、B类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率．

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20. 如图所示的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1} ， D_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A E C$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，条件①离心率为 $\frac{1}{2}$ ；②点 $P$ 在 $C$ 上运动，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ；③点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上.从①②③任选两个条件作为已知，解决下列问题：

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，点 $Q (4 ， 0)$ ，直线 $M Q ､ N Q$ 的斜率分别记为 $k_{M Q} ､ k_{N Q}$ ，试探讨 $k_{M Q} + k_{N Q}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x - 1} + 1 - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $F (x) = f (x) - k l n x + x - 1$ 的零点个数.

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	喜爱	不喜爱
A类体操	70	30
B类体操	40	60

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{a}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$