湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，集合 $N = {x | x > 1}$ ，则集合 $M ∩ (∁_{U} N) =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | x \leq 1}$

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2. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，“存在直线 $l$ ， $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在如图的平面图形中，已知 $O M = 1 ， O N = 2 ， ∠ M O N = 12 0^{∘}$ ， $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{M A} ， \overset{⇀}{C N} = 2 \overset{⇀}{N A} ，$ 则 $\overset{⇀}{B C} · \overset{⇀}{O M}$ 的值为（）

A、-15 B、-9 C、-6 D、0

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4. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + S_{5} = 18 ， a_{6} = a_{3} + 3$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{n^{2} + 56}}$ 的最大项为（）

A、 $\frac{1}{57}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{56}$

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5. $4 \times 100$ 米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会 $4 \times 100$ 米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）

A、 $p_{1} p_{2} p_{3}$ B、 $1 - p_{1} p_{2} p_{3}$ C、 $(1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$ D、 $1 - (1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$

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6. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 $1000$ 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 $P - A B C D$ 是阳马， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $P A = 5$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．则该阳马的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{125 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $50 π$ C、 $100 π$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} (| x - a^{2} | + | x - 2 a^{2} | - 3 a^{2})$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x - 1) \leq f (x)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{6} ， \frac{1}{6}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{6}}{6}]$ C、 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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二、多选题

8. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |} (a > 0)$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列选项中，是函数 $y = t a n (x + \frac{π}{3})$ 的单调递增区间的有（）

A、 $(- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6})$ B、 $(- \frac{5 π}{6} ， \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6})$ D、 $(\frac{π}{6} ， 2 π)$

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10. 已知函数 $y = m e^{x}$ 的图象与直线 $y = x + 2 m$ 有两个交点，则 $m$ 的取值可以是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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11. 已知双曲线 $C$ 过点 $(3 ， \sqrt{2})$ ，且渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ C、曲线 $y = e^{x - 2} - 1$ 经过 $C$ 的一个焦点 D、直线 $x - \sqrt{2} y - 1 = 0$ 与 $C$ 有两个公共点

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12. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE.若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（）

A、MB是定值 B、点M在圆上运动 C、一定存在某个位置，使DE⊥A₁C D、一定存在某个位置，使MB∥平面A₁DE

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三、填空题

13. 已知复数 $z = \frac{{(1 + 3 i)}^{2} (3 - i)}{{(1 - 2 i)}^{2}}$ ， $| z | =$ .

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 4$ ，则 $l o g_{2} x + l o g_{2} y$ 的最大值是.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且对任意的 $x$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，若 $0 < x < 1$ 时，有 $f (x) = 4^{x} + 3$ ，则 $f (3.5) =$ .

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16. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，经过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线在 $x$ 轴上方的部分相交于点 $A$ ， $A K ⊥ l$ ，垂足为 $K$ ，则 $Δ A K F$ 的面积是.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若 $a = 3$ ， $b - c = 2$ ，且 $c o s (A + C) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求b､c的值；

(2)、求 $s i n (B + 2 C)$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列.

(2)、若不等式 $2 n^{2} - n - 3 < (5 - λ) a_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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19. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
班级与成绩列联表

优秀
不优秀
总计
甲队
80
40
120
乙队
240
200
240
合计
320
240
560
附
$P (K^{2} > k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ）

(1)、能否在犯错误的概率不超过 $0.025$ 的前提下认为成绩与学校有关系；

(2)、采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这 16名同学中随机抽取 $3$ 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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20. 如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面ABC．

(2)、若 $A E = 2$ ，二面角D-AC-E为 $\frac{π}{6}$ ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上下左右四个顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $x$ 轴正半轴上的点 $P$ 满足 $| P A | = | P D | = 2 ， | P C | = 4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程以及点 $P$ 的坐标．

(2)、过点 $P$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ ，是否存在这样的直线 $l$ 使得 $△ M N A$ 和 $△ M N D$ 的面积相等？若不存在，请说明理由．

(3)、在（ $2$ ）的条件下，求当直线 $l$ 的倾斜角为钝角时， $△ M N D$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (1) = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq a x - 1$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值；

(3)、若 $a = - 2$ ，正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} x_{2} = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．

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	优秀	不优秀	总计
甲队	80	40	120
乙队	240	200	240
合计	320	240	560

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828