湖南省衡阳市2023届高三数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{3 - x}{x} \geq 2}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x \leq 0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | x < 0$ 或 $x > 1}$

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2. 在复平面内，复数 $z_{1} ， z_{2}$ 对应的点分别是 $(2 ， - 1) ， (0 ， 5)$ ，则复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 的虚部为（）

A、2 B、-2 C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 + c o s 2 x}{s i n x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 过点 $(1 ， 2)$ 作直线，使它与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 仅有一个公共点，这样的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 已知 $A ， B ， C$ 为球 $O$ 球面上的三个点，若 $A B = B C = A C = 3$ ，球 $O$ 的表面积为 $36 π$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$

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6. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式 $S = a b^{t}$ ，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为 $\frac{3 a}{4}$ （亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为 $\frac{a}{3}$ （亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

A、13年 B、14年 C、15年 D、16年

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7. 2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）

A、12 B、18 C、36 D、48

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8. 已知 $0 < α < β < \frac{π}{2} ， c o s 2 α + c o s 2 β + 1 = 2 c o s (α - β) + c o s (α + β)$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{6}$ B、 $α + β = \frac{π}{3}$ C、 $β - α = \frac{π}{6}$ D、 $β - α = \frac{π}{3}$

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二、多选题

9. 将 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内是增函数

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10. 为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）

A、平均数为8.5 B、平均数为8 C、方差为10.5 D、方差为10

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11. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) ， \forall m ， n \in (0 ， + \infty) ， f (m n) = f (m) + f (n)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x - 2)$ 有三个零点 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数 D、不等式 $x f (x - 2) < 0$ 的解集是 $(- \infty ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$

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12. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是线段 $A D_{1}$ 的中点，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C} ， \vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，则（）

A、存在 $λ \in (0 ， 1)$ ，使得平面 $A D_{1} M ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ B、存在 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，使得平面 $M E N$ $∥$ 平面 $A B_{1} C$ C、对任意 $λ ， μ \in (0 ， 1) ， M N$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ D、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{2}{3}$ 时，过 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， - 2) ， \vec{b} = (1 ， 3)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知集合 $P = (0 ， 1) ∪ (1 ， 2)$ ，函数 $f (x)$ 满足不等式 $f (x) \cdot l n x > 0$ 的解集为P，则函数 $f (x) =$ ．（写出一个符合条件的即可）

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，若点P的纵坐标为1， $| P A | = \sqrt{13} ， | P B | = 2$ ，则C的离心率为．

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16. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = 2 a \sqrt{x} + b - e^{\frac{x}{2}}$ 的一个零点，且 $x_{0} \in [\frac{1}{4} ， e]$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{4} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n + 1} = n^{2} + n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{3 a_{1}} + \frac{1}{4 a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{(n + 2) a_{n}} < \frac{1}{8}$ ．

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18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．

(1)、求甲获得奖金的期望；

(2)、已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $c = 1$ ， $b c o s C - c o s B = 1$ ．

(1)、证明： $B = 2 C$ ．

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $a$ 的取值范围．

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20. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B = A_{1} C = A A_{1} = 2 ， A B ⊥ A C$ ， O为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、已知 $A B = A C = 2$ ，在线段 $B_{1} C_{1}$ 上（不含端点）是否存在点Q，使得二面角 $Q - A_{1} C - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ？若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．

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21. 已知 $a b \neq 0$ ，曲线 $f (x) = \frac{3 x}{a - x^{2}}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $6 x + b y - 3 = 0$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、证明：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) < t a n x$ ．

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22. 已知O为坐标原点，M是椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，点N满足 $\vec{O N} = \sqrt{3} \vec{O M}$ ，设点N的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程．

(2)、若点A，B，C，D在椭圆 $C_{1}$ 上，且 $\vec{C D} = 2 \vec{A B} ， A C$ 与 $B D$ 交于点P，点P在 $C_{2}$ 上．证明： $△ P C D$ 的面积为定值．

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