湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 3 ， x \in N}$ ，则A的子集共有（）个

A、3 B、4 C、6 D、7

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2. 若复数z满足 $(1 + 2 i) \cdot z = 3 + 4 i$ （其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、z的实部是 $- \frac{11}{5}$ B、z的虚部是 $\frac{2}{5}$ C、复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限 D、 $| z | = 5$

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3. 2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场，歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部侧面积约为（）平方米

A、 $2 π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$

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4. “ $- 1 < m < 7$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{7 - m} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和，且 $a_{6} + 2 a_{7} + a_{10} = 20$ ，则当 $a_{7} \cdot a_{8}$ 取最大值时， $S_{10} =$ （）

A、10 B、20 C、25 D、50

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) - c o s α = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，且 $a = - f (l o g_{2} \frac{1}{π}) ， b = f (l o g_{2} e) ， c = f (2^{- 0.8})$ （其中e为自然对数的底数， $π$ 为圆周率），则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）

A、事件A与B相互独立 B、事件A与C为互斥事件 C、 $P (C | A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (B | A) = \frac{1}{6}$

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二、多选题

9. 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A、乙同学体温的极差为 $0.2 ℃$ B、甲同学体温的第三四分位数为 $36.5 ℃$ C、甲同学的体温比乙同学的体温稳定 D、乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则（）

A、函数解析式 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、将函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可得函数 $f (x)$ 的图象 C、直线 $x = - \frac{11}{12} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最小值为 $- 2$

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11. 设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： x + y - 4 = 0$ ， P为l上的动点过点P作圆O的两条切线 $P A ， P B$ ，切点为A，B，则下列说法中正确的是（）

A、直线l与圆O相交 B、 $| P A |$ 的取值范围为 $[\sqrt{6} ， + \infty)$ C、存在点P，使四边形 $O A P B$ 为正方形 D、当点P坐标为 $(2 ， 2)$ 时，直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 1$

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12. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点P满足 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} D_{1}} (λ \in R ， λ \in [0 ， 1])$ ．则以下结论正确的为（）

A、 $\exists λ \in [0 ， 1]$ ，使直线 $A_{1} P ⊥$ 面 $P B B_{1}$ B、直线 $A A_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\forall λ \in [0 ， 1]$ ，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $11 π$

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三、填空题

13. $(x^{2} + \frac{1}{x})^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.（用数字作答）

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14. 若向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $4 \vec{b}$ ，且 $| \vec{b} | = 2$ ，则数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右焦点为 $F (\sqrt{5} ， 0)$ ，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若 $P F ⊥ Q F$ ，且 $△ P Q F$ 的面积为4，则双曲线的离心率 $e =$ ．

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16. 2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 $10 c m$ ，该纸片上的正六边形 $A B C D E F$ 的中心为 $O ， A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， D_{1} ， E_{1} ， F_{1}$ 为圆O上的点，如图（2）所示． $△ A_{1} A B ， △ B_{1} B C ， △ C_{1} C D ， △ D_{1} D E ， △ E_{1} E F ， △ F_{1} F A$ 分别是以 $A B ， B C ， C D ， D E ， E F ， F A$ 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 $A B ， B C ， C D ， D E ， E F ， F A$ 为折痕折起 $△ A_{1} A B ， △ B_{1} B C ， △ C_{1} C D ， △ D_{1} D E ， △ E_{1} E F ， △ F_{1} F A$ ，使 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， D_{1} ， E_{1} ， F_{1}$ 重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为 $c m$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c； $s i n A + s i n B = \sqrt{3} s i n C$ ，且边 $c = 2$ ，

(1)、求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若角 $C = 60 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 1$ ， ____．请在① $a_{3} + a_{15} = 20$ ；② $a_{2} ， a_{5} ， a_{11}$ 成等比数列；③ $S_{20} = 230$ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} - 1$ ，求数列 ${2^{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图1，直角梯形 $A B C D$ 中， $C D = 2 A B = 2 B C = 4 ， A B ∥ C D ， A B ⊥ B C$ ， E为 $C D$ 的中点，现将 $△ D A E$ 沿着 $A E$ 折叠，使 $C D = 2 \sqrt{2}$ ，得到如图2所示的几何体，其中F为 $A D$ 的中点，G为 $B D$ 上一点， $A C$ 与 $B E$ 交于点O，连接 $O F$ ．

(1)、求证： $C D$ $∥$ 平面 $E F B$ ；

(2)、若 $B E ⊥$ 面 $A G C$ ，求平面 $G E C$ 与平面 $B E C$ 的夹角 $θ$ ．

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20. 皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为 $\frac{3}{5} ， \frac{2}{3} ， \frac{3}{4}$ ，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．
（参考公式 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 163$ ）．

(1)、求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；

(2)、若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；

(3)、随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y与时间：如下表：（第1天用数字1表示）
时间（t）
1
2
3
4
5
6
7
合格作品数（y）
3
4
3
4
7
6
8
其中合格作品数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 9 x$ 上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是 $G D$ 上一点，且满足 $\vec{G M} = \frac{1}{3} \vec{G D}$ ．

(1)、求动点M的轨迹C的方程；

(2)、若 $P (x_{0} ， 4)$ 为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足 $k_{P A} + k_{P B} = 2$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - a) l n x - x + a - 3 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值．

(2)、讨论函数 $f^{^{'}} (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x)$ 有且只有 $2$ 个零点．

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时间（t）	1	2	3	4	5	6	7
合格作品数（y）	3	4	3	4	7	6	8