湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期数学元月质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in N^{*} | x$ 是 $4$ 和 $10$ 的公倍数 $}$ ， $B = {x \in R | x^{2} \leq 1000}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 20 ， 20}$ C、 ${20}$ D、 ${20 ， 30}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(z - 3) (z - 5) + 2 = 0$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{17}$ C、16 D、17

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3. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{c o s α}{c o s (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富，曾于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃，如图，该红薯可近似看作三部分：左边部分是半径为 $R$ 的半球；中间部分是底面半径为 $R$ 、高为 $3 R$ 的圆柱；右边部分是底面半径为 $R$ 、高为 $R$ 的圆锥，若小泽准备从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积最接近，则小泽选择的位置是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，若点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M A}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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6. 若 $a = \frac{10}{11} \cdot e^{\frac{11}{10}}$ ， $b = \frac{10 e^{2}}{11} \cdot l n \frac{11}{10}$ ， $c = e$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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7. 已知随机事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ， $0 < P (C) < 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、不可能事件 $Φ$ 与事件 $A$ 互斥 B、必然事件 $Ω$ 与事件 $A$ 相互独立 C、 $P (A ∣ C) = P (A B ∣ C) + P (A \bar{B} ∣ C)$ D、若 $P (A | B) = P (\bar{A} | B)$ ，则 $P (A) = P (\bar{A}) = \frac{1}{2}$

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8. 已知A是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，点 $B$ ， $C$ 是 $E$ 上异于A的两点， $△ A B C$ 是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的 $△ A B C$ 有且仅有1个，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} - 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 ${S_{n}}$ 是递减数列 B、 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、 $a_{n} < 0$ D、 $S_{n} + a_{n} = 1$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $B E = \frac{1}{2} B D$ ，动点 $F$ 在线段 $B_{1} C$ 上（含端点），则下列说法正确的有（）

A、三棱锥 $D_{1} - A D F$ 的体积为定值 B、若直线 $E F / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则 $C F = \frac{1}{2} C B_{1}$ C、不存在点 $F$ 使平面 $D E F ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ D、存在点 $F$ 使直线 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知点 $P$ 是曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ 上的动点，点 $Q$ 是直线 $y = x + 3$ 上的动点.点 $O$ 是坐标原点，则下列说法正确的有（）

A、原点在曲线 $C$ 上 B、曲线 $C$ 围成的图形的面积为 $π + 1$ C、过 $Q (0 ， 3)$ 至多可以作出4条直线与曲线相切 D、满足 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 的点有3个

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12. 声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{4} s i n 4 x + \frac{1}{6} s i n 6 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $x = k π (k \in Z)$ 是 $f (x)$ 的零点 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{4} ， π)$ 存在极值

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三、填空题

13. 若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有个交点（用数字作答）.

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14. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m y + m^{2} - 16 = 0$ 外离，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知 ${(1 + \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则正整数 $n =$ .

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16. 某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：
项目
样本量
样本平均数
样本方差
高一
100
167
120
高二
100
170
150
高三
100
173
150
则总的样本方差 $s^{2} =$ .

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四、解答题

17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $c o s C + \sqrt{3} s i n C = \frac{b + c}{a}$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和

(1)、求证： $a_{n} = S_{n - 2} + 1$

(2)、求使得 $| \frac{a_{k}}{S_{k - 2}} - 1 | \geq \frac{1}{100}$ 成立的正整数 $k (k \geq 3 ， k \in N^{*})$ 的最大值

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19. “惟楚有材”牌坊地处明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文脉的源远流长，某学生随机统计了来此参观的 $100$ 名游客，其中 $40$ 名女性中有 $30$ 名在“惟楚有材”牌坊下拍照， $60$ 名男性中有 $20$ 名在“惟楚有材”牌坊下拍照.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.100$
$0.050$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$k_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、用女性拍照的频率估计概率，若再来 $4$ 名女性（是否拍照互相之间不影响）中至少有 $2$ 名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是否与性别有关

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20. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C = A B = A C = \frac{\sqrt{2}}{2} B C = 1$ ， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 是棱 $P A$ 上的动点，点 $N$ 是棱 $B C$ 上的动点，且 $P M = C N = x (0 < x < \sqrt{2})$ .

(1)、当 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求证： $M N ⊥ A C$ ；

(2)、当 $M N$ 的长最小时，求二面角 $A - M N - C$ 的余弦值

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21. 已知点 $A (a ， - 1)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，斜率为2的动直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ （异于 $A$ ）的两点，直线 $A M$ ， $A N$ 的倾斜角互补.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $| M N | = \sqrt{5}$ ，求 $s i n ∠ M A N$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ 与 $g (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）

(1)、求 $g (x)$ 在 $(1 ， g (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 1$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ 恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围

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项目	样本量	样本平均数	样本方差
高一	100	167	120
高二	100	170	150
高三	100	173	150

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$