湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高三上学期数学元月调考试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | l o g_{2023} | x | < 0}$ ， $B = {x | - x^{2} + 5 x + 6 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 6)$ B、 $(- 6 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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2. $i$ 是虚数单位，设复数 $z$ 满足 $(i - 1) z = | 1 + \sqrt{3} i | + 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），现在向这个空石瓢壶中加入 $91 π c m^{3}$ （约 $285.9 c m^{3}$ ）的矿泉水后，问石瓢壶内水深约（）cm

A、2.8 B、2.9 C、3.0 D、3.1

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4. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是奇函数且满足 $f (\frac{3}{2} - x) = f (x)$ ， $f (- 2) = - 3$ ，则 $f (2022) + f (2023) + f (2024) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、3

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5. 已知 $a = 7^{9}$ ， $b = 8^{8}$ ， $c = 9^{7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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6. 双曲线的中心为原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 于 $A$ ， $B$ 两点.已知 $| \vec{O A} |$ 、 $| \vec{A B} |$ 、 $| \vec{O B} |$ 成等差数列，且 $\vec{B F}$ 与 $\vec{F A}$ 反向.则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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7. 设 $g_{1} (t)$ 和 $g_{2} (t)$ 是函数 $y = s i n (2 x + φ)$ 在区间 $[t ， t + \frac{π}{4}]$ 上的两个不同的值，当 $g_{1} (t) - g_{2} (t)$ 的值最小时， $g_{2} (t) =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

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8. 已知圆锥的底面圆半径为 $r$ ，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若 $\frac{\sqrt{5}}{2} \leq r \leq \sqrt{6}$ ，则圆锥体积的取值范围是（）

A、 $[\frac{8 π}{3} ， \frac{24 π}{5}]$ B、 $[\frac{25 π}{6} ， 16 π]$ C、 $[\frac{8 π}{3} ， \frac{25 π}{6}]$ D、 $[16 π ， 25 π]$

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二、多选题

9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上一点（不包括端点），则（）

A、直线 $B P$ 与 $B_{1} D$ 所成的角为90° B、直线 $B P$ 与 $C D_{1}$ 所成的角为90° C、直线 $A_{1} P$ 与 $B_{1} D$ 所成的角为90° D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为90°

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，前 $n$ 项的积 $K_{n}$ ，且 $K_{6} > K_{5} > 0$ ， $K_{6} = K_{7} > K_{8} > 0$ ，则下列选项中成立的是（）

A、对任意正整数 $n$ ， $a_{n}^{2} + a_{n + 2}^{2} > 2 a_{n + 1}^{2}$ B、 $a_{7} = 1$ C、数列 ${T_{2 n + 2} - T_{2 n}}$ 一定是等比数列 D、 $K_{9} > K_{5}$

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11. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在（0，2π）有且仅有2个极小值点 C、 $f (x)$ 在（0， $\frac{π}{10}$ ）单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是[ $\frac{7}{3}$ ， $\frac{17}{6}$ ）

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12. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | \cdot e^{x} + a$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $(2 ， 3)$ 上单调递减 B、 $y = f (x)$ 恰有一个极大值和一个极小值 C、当 $a \geq 0$ 或 $a < - e^{2}$ 时， $f (x) = 0$ 有一个实数解 D、当 $a = 0$ 时， $f (f (x)) = 0$ 有一个实数解

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三、填空题

13. 在 ${(x - 3)}^{4} {(\sqrt{5} + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为．

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14. 已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为2， $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为.

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 位于第一象限）， $l$ 与 $C$ 的准线交于 $D$ 点， $F$ 为线段 $A D$ 的中点，过抛物线上点 $M$ 的直线与抛物线相切，且与直线 $l$ 平行，则 $△ M A B$ 的面积是.

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16. 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f (x) = | l g x |$ 在 $[a ， + \infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$ ，函数 $g (x) = s i n \frac{π x}{2}$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值为 $M_{a}$ ，若 $M_{a} - m_{a} = \frac{1}{2}$ ，则 $a$ 的所有可能值.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列， $2 c o s (A - C) - 2 c o s B = 1$ ，延长 $B C$ 至点 $D$ ，使 $B D = 5$ .求：

(1)、 $∠ B$ 的大小；

(2)、 $\vec{A C} \cdot \vec{C D}$ 的取值范围.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ，对任意 $n \in N *$ ， $a_{n + 1} = (\sqrt{2} - 1) \sqrt{a_{n} a_{n + 1}} + \sqrt{2} a_{n}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 及正整数 $m (m \geq 2)$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{m} = 2$ ，且 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{m - 1} b_{m}} = 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $C_{n} = | 6 b_{n} + b_{19} - a_{5} |$ ，求 ${C_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 袋中有大小形状完全相同的3个白球，2个黄球，1个红球.现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，直到红球出现3次，则停止取球，用 $X$ 表示取球停止时取球的次数.

(1)、求 $P (X = 3)$ 和 $P (X = k)$ ；

(2)、设 $Y = m i n {m a x {X ， 4} ， 5}$ ，求数学期望 $E (Y)$ .

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20. 在如图所示的多面体中，四边形 $A B C D$ 为正方形，A， $E$ ， $B$ ， $F$ 四点共面，且 $△ A B E$ 和 $△ A B F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A E = ∠ A F B = 90 °$ .平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A E B F$ ， $A B = 2$ .

(1)、求多面体 $A E B F C D$ 体积；

(2)、若点 $P$ 在直线 $D E$ 上，求 $A P$ 与平面 $B C F$ 所成角的最大值.

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21. 如图，在平面直角坐标系，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点.设点 $D (1 ， 0)$ 为线段 $O F_{2}$ 的中点.

(1)、若 $D$ 为长轴 $A B$ 的三等分点，求椭圆方程；

(2)、直线 $M N$ （不与 $x$ 轴重合）过点 $F_{1}$ 且与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，延长 $M D$ ， $N D$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，设直线 $M N$ ， $P Q$ 的斜率存在且分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，请将 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 表示成关于 $a$ 的函数，即 $f (a) = \frac{k_{2}}{k_{1}}$ ，求 $f (a)$ 的值域.

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22. 若函数 $f (x) = (x + 2) l n (x + 2) - x^{2} + (a - 3) x - 2 + 2 a$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a_{k}$ ， $b_{k} (k = 1 ， 2 ⋯ n)$ 均为正数， $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ⋯ + a_{n} b_{n} \leq b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ .证明： $a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} ⋯ a_{n}^{b_{n}} \leq 1$ .

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