河南省南阳市2022-2023学年高三上学期文数期终质量评估（期末）试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ l o g_{2} x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 3]$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = | 3 + i |$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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3. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$

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4. 从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生 $30$ 天内在该校食品小卖部消费过的天数进行统计，将所得数据按照 $[0 ， 5)$ 、 $[5 ， 10)$ 、 $[10 ， 15)$ 、 $[15 ， 20)$ 、 $[20 ， 25)$ 、 $[25 ， 30]$ 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（）

A、该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20% B、该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32% C、估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15 D、估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间

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6. 已知 $x \in R$ ， $y \in R$ ，若 $p ： | x + 1 | + | y - 2 | \geq 1$ ， $q ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 \geq 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{s i n A + s i n B}{s i n C} = \frac{b - c}{b - a}$ ．角A等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ， $f (- x - 1) = f (- x + 1)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - \sqrt{5}$ ，则 $f (l o g_{4} 80) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值0，则 $a + b$ 的值为（）

A、4 B、7 C、11 D、4或11

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增，且 $f (x) \geq f (- \frac{2 π}{3})$ 恒成立，则 $ω$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知过坐标原点O的直线 $l$ 交双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若 $| A F | = 3 | B F |$ ，则△ABF的面积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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12. 已知 $a = l n 1.5$ ， $b = \frac{1}{3}$ ， $c = c o s 1.25$ ，则大小关系正确的为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 \sqrt{5})$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{5})$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影是．

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s (x + φ)$ 是偶函数，则 $\frac{3 s i n φ - 2 c o s φ}{2 s i n φ + 3 c o s φ} =$ ．

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15. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A ， B$ 两点，且 $| A F | = 3 | B F |$ ，则直线 $A B$ 的斜截式方程为．

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16. 在菱形ABCD中， $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得 $A C = 3$ ．则得到的四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$
男性人数
22
43
60
67
53
30
15
女性人数
12
23
40
54
51
20
10
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

不太了解
比较了解
总计
男性
女性
总计

(2)、从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $S_{n} = \frac{(a_{n} - 1) (a_{n} + 2)}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(\frac{8}{9})}^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的最大项．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P B = A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ，设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $B C ∥ l$ ；

(2)、证明： $l$ $⊥$ 平面 $P A B$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上一个动点，且 $| P F_{1} |$ 的最小值为1．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在椭圆C的上半部分取两点 $M ， N$ （不包含椭圆左右端点），若 $\vec{F_{1} M} = 2 \vec{F_{2} N}$ ，求直线 $M N$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - x^{2} + a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．

(1)、在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)、若点A，B为曲线C上的两个点且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 为定值．

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23. 已知存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $| x_{0} + a | - | x_{0} - 2 b | \geq 4$ 成立，a， $b \in R_{+}$ ．

(1)、求 $a + 2 b$ 的取值范围；

(2)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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得分	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$
男性人数	22	43	60	67	53	30	15
女性人数	12	23	40	54	51	20	10

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	不太了解	比较了解	总计
男性
女性
总计