河南省南阳市2022-2023学年高三上学期理数期终质量评估（期末）试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ l o g_{2} x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 3]$

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2. 已知复数z满足 $(i - 1) z = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 \sqrt{5})$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{5})$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影是（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\sqrt{6}$

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5. 已知 $x \in R$ ， $y \in R$ ，若 $p ： | x + 1 | + | y - 2 | \geq 1$ ， $q ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 \geq 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M在C的右支上，直线 $F_{1} M$ 与C的左支交于点N，若 $| F_{1} N | = b$ ，且 $| M F_{2} | = | M N |$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm 3 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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7. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为4的奇函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，令 $g (x) = f (x) + f (x + 1)$ ，则函数 $y = g (x)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增，且 $f (x) \geq f (- \frac{2 π}{3})$ 恒成立，则 $ω$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F作直线 $l$ 交抛物线C于点A，B（A在x轴上方），与抛物线准线交于点M．若 $| B M | = 2 | B F |$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、60° B、30°或150° C、30° D、60°或120°

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10. 对于函数 $f (x) = s i n x + x - e^{x}$ ， $x \in [0 ， π]$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有唯一的极大值点 B、函数 $f (x)$ 有唯一的极小值点 C、函数 $f (x)$ 有最大值没有最小值 D、函数 $f (x)$ 有最小值没有最大值

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11. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为 $S_{n}$ ，设 $b_{n} = \sqrt{5 l o g_{2} (S_{n} + 1) - 1}$ ，将数列 ${b_{n}}$ 中的整数项依次取出组成新的数列记为 ${c_{n}}$ ，则 $c_{2023}$ 的值为（）

A、5052 B、5057 C、5058 D、5063

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12. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $12 0^{∘}$ ；当三角形有一内角大于或等于 $12 0^{∘}$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $b^{2} - (a - c)^{2} = 6$ ， $\frac{c o s A}{2 c o s B} = s i n (C - \frac{π}{6})$ ，若点P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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二、填空题

13. 上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有．（数字作答）

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14. 如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为．

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15. 《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中 $P D ⊥$ 平面ABCD，若 $D E ⊥ P A$ ， $D F ⊥ P B$ ， $D G ⊥ P C$ ，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{m x + 1}} - l n x + m x (x > 0)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，则实数m取值范围为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $S_{n} = \frac{(a_{n} - 1) (a_{n} + 2)}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(\frac{8}{9})}^{n} \cdot a_{n}$ ，求 $b_{n}$ 取得最大值时 $n$ 的值．

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18. 在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得 $- 1$ 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每次踢球命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\frac{1}{5}$ ，且各次踢球互不影响．

(1)、经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

(2)、若经过两轮踢球，用 $p_{2}$ 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求 $p_{2}$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， PB⊥底面ABCD， $P B = A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ，设平面PAD与平面PBC的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $l ⊥$ 平面PAB；

(2)、设Q为 $l$ 上的动点，求 $P D$ 与平面 $Q A B$ 所成角的正弦值的最大值．

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20. 已知函数 $f (x) = a l n x - x^{2} + a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A (1 ， - 1)$ 在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且 $| P F_{1} | + | P A |$ 的最大值为5．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且 $\vec{F_{1} M} = 2 \vec{F_{2} N}$ ，求四边形 $F_{1} F_{2} N M$ 的面积．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．

(1)、在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)、若点A，B为曲线C上的两个点且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 为定值．

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23. 已知存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $| x_{0} + a | - | x_{0} - 2 b | \geq 4$ 成立，a， $b \in R_{+}$ ．

(1)、求 $a + 2 b$ 的取值范围；

(2)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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