河北省石家庄市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $i z = - 2 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $2 i$ B、2 C、1 D、 $i$

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2. 设集合 $A = {x | - 5 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x - 18 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 4}$ B、 ${x | - 3 < x < 6}$ C、 ${x | - 5 < x < 3}$ D、 ${x | - 6 < x < 4}$

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3. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点P在C上，过点P作准线 $l$ 的垂线，垂足为A，若 $∠ F P A = \frac{π}{3}$ ，则 $| P F | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且 $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{50 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $9 π$ C、 $7 π$ D、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$

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5. $△ A B C$ 中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且 $\vec{A D} = \frac{4}{5} \vec{A M}$ ， $\vec{A N} = λ \vec{A B}$ .则 $λ =$ （）.

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减，则实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{4}]$ D、 $(0 ， 2]$

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7. 四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上， $A M = 2 M B$ ， $A N = \frac{1}{2} N D$ ， $C P = 2 P D$ ，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，离心率为2，点P在 $C$ 上，若直线 $A_{1} P$ ， $A_{2} P$ 的斜率之和为 $\frac{6 \sqrt{15}}{5}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $S_{11} < S_{10} < S_{12}$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $a_{1} > 0$ C、 $S_{22} < 0$ D、 $S_{21} < 0$

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10. 下列选项中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为10. C、用 $χ^{2}$ 独立性检验进行检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系. D、样本相关系数 $| r |$ 越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱.

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} + 2^{1 - x} - 2 ， x \geq 0 \\ x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ B、 $0 < x_{3} < 1 < x_{4} < 2$ C、 $x_{3} x_{4} \geq 1$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$

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12. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，二面角 $B - A A_{1} - C$ 为 $\frac{π}{3}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、三棱柱的侧面积为 $6 \sqrt{3}$ B、 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ D、若四棱锥 $A_{1} - B C C_{1} B_{1}$ 各顶点都在同一球面上，则该球的半径为 $\frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\frac{1 + c o s θ}{s i n θ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n \frac{θ}{2} =$ .

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14. 冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者，设A表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者”，B表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则 $P (A | B) =$ .

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15. 已知 $O$ 为坐标原点， $A$ ， B在直线 $x - y - 4 = 0$ 上， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，动点M满足 $| M A | = 2 | M B |$ ，则 $| O M |$ 的最小值为.

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16. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = \frac{l n x}{x}$ 的切线，也是曲线 $y = \frac{2}{x}$ 的切线，则 $k =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{a_{n}} = 2^{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足 $2 s i n (A + \frac{π}{6}) = \frac{a + b}{c}$ .

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 内切圆面积为 $3 π$ ， $b = a + 3$ 求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.

(1)、若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；

(2)、采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在 $[90 ， 100]$ 的人数为 $ξ$ ，试求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = D C = \frac{1}{2} A B$ ，点P在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 $A B P ⊥$ 平面ABCD，E，F分别是BC，AP的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面PCD；

(2)、当 $P B = \sqrt{3} P A$ 时，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(2 ， \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为2，求 $△ A B O$ 的面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = s i n x$ .

(1)、设 $F (x) = f (x) - m x$ ，若 $F (x) \leq 0$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $G (x) = \frac{2}{3} f (x) + x - \frac{5}{3} a l n x + 2$ ，若存在正实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，满足 $G (x_{1}) = G (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 a$ .

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