广东省深圳市南山区2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | - 1 < x < 1}$ ， $N = {x | x (x - 2) \leq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2]$

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2. 命题“存在无理数 $m$ ，使得 $m^{2}$ 是有理数”的否定为（）

A、任意一个无理数 $m$ ， $m^{2}$ 都不是有理数 B、存在无理数 $m$ ，使得 $m^{2}$ 不是有理数 C、任意一个无理数 $m$ ， $m^{2}$ 都是有理数 D、不存在无理数 $m$ ，使得 $m^{2}$ 是有理数

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3. 若 $(x - a) {(1 - 3 x)}^{3}$ 的展开式的各项系数和为8，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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4. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
$P$
$m$
$n$
若 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 设 $a = l o g_{3} 4$ ， $b = 0 . 4^{0.5}$ ， $c = 2^{- 0.5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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6. 在 $A ， B ， C$ 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为 $5 ： 6 ： 9$ ，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（）

A、0.032 B、0.048 C、0.05 D、0.15

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7. 若函数 $f (x) = x c o s x$ 在区间 $[l n a ， l n \frac{1}{a}]$ 上的最小值为 $m$ ，最大值为 $M$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $m + M = 0$ B、 $m M = 0$ C、 $m M = 1$ D、 $m + M = 1$

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8. 已知交于点 $P$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相互垂直，且均与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 相切，若 $A$ 为 $C$ 的上顶点，则 $| P A |$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{3}]$ B、 $[1 ， \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{3} ， 3]$ D、 $[1 ， 3]$

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二、多选题

9. 设复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 2 i$ （i为虚数单位），则下列结论正确的为（）

A、 $z_{2}$ 是纯虚数 B、 $z_{1} - z_{2}$ 对应的点位于第二象限 C、 $| z_{1} + z_{2} | = 3$ D、 $\bar{z_{1}} = 2 + i$

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10. 下列等式能够成立的为（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $s i n 75 ° c o s 15 ° + c o s 75 ° s i n 15 ° = 1$ C、 $c o s 105 ° c o s 75 ° - s i n 105 ° c o s 15 ° = - 1$ D、 $\sqrt{3} s i n 15 ° + c o s 15 ° = 1$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 在双曲线 $C ： x^{2} - y^{2} = λ (λ > 0)$ 的右支上运动，平行四边形 $O A P B$ 的顶点 $A$ ， $B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）

A、直线 $A O$ ， $A P$ 的斜率之积为 $- 1$ B、 $C$ 的离心率为2 C、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\sqrt{2 λ}$ D、四边形 $O A P B$ 的面积可能为 $\frac{2 λ}{3}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A、直线 $A_{1} M$ 可能与平面 $A C D_{1}$ 相交 B、三棱锥 $A - M C D$ 与三棱锥 $D_{1} - M C D$ 的体积之和为定值 C、当 $C M ⊥ M D_{1}$ 时， $C M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角最大 D、当 $△ A M C$ 的周长最小时，三棱锥 $M - C B_{1} D_{1}$ 的外接球表面积为 $16 π$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为．

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15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ ，则 $\frac{C_{1} C_{4}}{C_{2}} =$ .

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16. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a l n x - x = 0$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有且仅有一个实数根，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N *)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ .

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18. 某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $\sum_{i = 1}^{m} {(a_{i} - c)}^{2} + \sum_{j = 1}^{n} {(b_{j} - c)}^{2} = \sum_{i = 1}^{m} {(a_{i} - \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} a_{i})}^{2} + m {(\frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} a_{i} - c)}^{2} +$ $\sum_{j = 1}^{n} {(b_{j} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} b_{j})}^{2} + n {(\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} b_{j} - c)}^{2}$

(1)、请完成下表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
性别
体质测试
合计
优良
非优良
男生
女生
合计

(2)、100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C_{1}$ ，且 $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $E B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A C = B C$ ，且 $E C ⊥ E C_{1}$ ，求平面 $E B C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $A C = 2$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点.

(1)、若 $s i n ∠ B A D = 2 s i n ∠ C A D$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值；

(2)、若 $B D = C D$ ，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且与 $x$ 轴交于点 $M (a ， 0) (a > 0)$ ，过点 $A$ ， $B$ 分别作直线 $l_{1} ： x = - a$ 的垂线，垂足依次为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，动点 $N$ 在 $l_{1}$ 上.

(1)、当 $a = 1$ ，且 $N$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点时，证明： $A N ⊥ B N$ ；

(2)、记直线 $N A$ ， $N B$ ， $N M$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x) = \sqrt{x} \cdot e^{a x}$ .

(1)、若 $a \in R$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 ${(\frac{e^{a x}}{x})}^{2 a} \geq \frac{l n x}{a x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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性别	体质测试		合计
性别	优良	非优良	合计
男生
女生
合计

$X$	1	2
$P$	$m$	$n$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828