广东省深圳市罗湖区2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x - y = 0}$ ， $B = {(x ， y) | x + y + 1 = 0}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无穷多个

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2. 已知复数 $ω = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $ω^{2} =$ （）

A、 $\bar{ω}$ B、 $- ω$ C、 $ω - 1$ D、 $ω + 1$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， k)$ ， $\vec{b} = (2 ， 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 $x$ 万件该产品，需另投入成本 $ω (x)$ 万元.其中 $ω (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 10 x ， 0 < x \leq 40 \\ 71 x + \frac{10000}{x} - 945 ， x > 40 \end{array}$ ，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（）

A、720万元 B、800万元 C、875万元 D、900万元

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5. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 y - 6 = 0$ 与圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ 公共弦长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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6. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{3} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $2 x - y - 2 = 0$ B、 $4 x - y - 4 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $4 x + y - 4 = 0$

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7. 某批产品来自 $A$ ， $B$ 两条生产线， $A$ 生产线占 $60 %$ ，次品率为4%； $B$ 生产线占 $40 %$ ，次品率为 $5 %$ ，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自 $A$ 生产线的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6}{11}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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8. 正四面体 $S - A B C$ 中， $M$ 是侧棱 $S A$ 上（端点除外）的一点，若异面直线 $M B$ 与直线 $A C$ 所成的角为 $α$ ，直线 $M B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $M - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α < β < γ$ B、 $β < α < γ$ C、 $β < γ < α$ D、 $γ < α < β$

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二、多选题

9. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $q \neq - 1$ ，以下结论正确的是（）

A、 ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列 B、数列 $a_{11} + a_{12}$ ， $a_{12} + a_{13}$ ， $a_{13} + a_{14}$ 成等比数列 C、若 $q > 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是递增数列 D、若 $q > 0$ ，则 ${S_{n}}$ 是递增数列

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10. 已知随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} (x \in R)$ ，则（）

A、当 $x = μ$ 时， $f (x)$ 取得最大值 $\frac{1}{σ \sqrt{2 π}}$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = μ$ 对称 C、 $x$ 轴是曲线 $y = f (x)$ 的渐近线 D、曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴之间的面积小于1

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11. 已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左、右顶点， $F (c ， 0)$ 为 $C$ 的右焦点， $M$ 是 $C$ 的上顶点， $N (\frac{a^{2}}{c} ， 0)$ ， $M N$ 的垂直平分线交 $C$ 于 $D$ ， $E$ ，若 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点共线，则（）

A、 $| F N | = a$ B、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、点 $N$ 到直线 $M F$ 的距离为 $\frac{b^{2}}{c}$ D、直线 $D A$ ， $D B$ 的斜率之积为 $- \frac{b^{2}}{a^{2}}$

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12. 已知 $x \in [- π ， π]$ ，函数 $f (x) = \frac{s i n x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 有四个极值点 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值不大于 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题

13. 若 $α$ 是第三象限角，且 $t a n α = 3$ ，则 $s i n α - c o s α =$ .

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14. 已知0＜x＜1，则函数y= $\frac{4}{x}$ + $\frac{1}{1 - x}$ 的最小值为．

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15. 若正方形 $A B C D$ 的顶点均在半径为1的球 $O$ 上，则四棱锥 $O - A B C D$ 体积的最大值为.

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16. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 1)$ ，点 $B$ ， $C$ 均在抛物线 $H ： y^{2} = 4 x$ 上.若 $A B$ ， $A C$ 的中点也在 $H$ 上， $B C$ 的中点为 $D$ ，则 $A D =$ ， $△ A B C$ 的面积 $S =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 1$ $(n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数， \\ 2 a_{n + 1} ， n 为偶数， \end{array}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a s i n B c o s C + c s i n B c o s A = \frac{2 \sqrt{2} b}{3}$ ， $c > b$ .

(1)、求 $c o s B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $A C$ 边上中线 $B D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间 $[5 ， 15]$ ， $(15 ， 25]$ ， $(25 ， 35]$ ， $(35 ， 45]$ ，并据此画得频率分布直方图如下：
注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.

(1)、求 $a$ 的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；

(2)、若重量在 $[5 ， 15]$ （单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} ⊥ B C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $M N ∥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线 $A C$ 与平面 $A M N$ 所成角 $θ$ 的正弦值.
条件①：异面直线 $A C$ 与 $M N$ 所成的角为45°；
条件②： $△ A M N$ 是等腰三角形.

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21. 点 $M$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 上一动点，两直线 $l_{1} ： y = x$ ， $l_{2} ： y = - x$ ，已知 $M A ⊥ l_{1}$ 于点 $A$ ， $A$ 位于第一象限； $M B ⊥ l_{2}$ 于点 $B$ ， $B$ 位于第四象限.若四边形 $O A M B$ 的面积为2.

(1)、若动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ，求 $C$ 的方程.

(2)、设 $M (s ， t)$ ，过点 $M$ 分别作直线 $M P$ ， $M Q$ 交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ .若 $M P$ 与 $M Q$ 的倾斜角互补，证明直线 $P Q$ 的斜率为一定值，并求出这个定值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (a x) + a x$ ，其中 $a$ 是非零实数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x e^{x - a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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