广东省清远市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 ${(1 + i)}^{2} + i (1 - i) =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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2. 已知集合 $A = {x | x (x - 5) < 0}$ ， $B = {x | x > 2}$ ， $M = A ∩ B$ ，则（）

A、 $4 \notin M$ B、 $\sqrt{10} \in M$ C、 $5 \in M$ D、 $6 \in M$

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3. 已知 $f (x) = x^{3} g (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，则 $g (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3^{x}$ B、 $g (x) = x^{3} + x^{2}$ C、 $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} + 3^{x}$ D、 $g (x) = x^{2} - x^{3}$

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4. 古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（）

A、1356元 B、341元 C、339元 D、344元

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{48})$ 上单调，则 $ω$ 的取值集合为（）

A、 ${2}$ B、 ${8}$ C、 ${2 ， 8}$ D、 ${2 ， 8 ， 14}$

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6. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，“三棱锥 $A - B C D$ 为正三棱锥”是“ $A B ⊥ C D$ 且 $A C ⊥ B D$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知P，Q为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，点 $M (- 1 ， 1)$ ，且 $P M ⊥ Q M$ ，则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、2

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8. 如图，已知OAB是半径为2km的扇形， $O A ⊥ O B$ ， C是弧AB上的动点，过点C作 $C H ⊥ O A$ ，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由 $△ A O C$ 和矩形 $O D E H$ 组成，且 $O H = 2 O D$ ，则该风景区面积的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2} k m^{2}$ B、 $\frac{11}{4} k m^{2}$ C、 $3 k m^{2}$ D、 $\frac{17}{8} k m^{2}$

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二、多选题

9. 某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）

A、这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82% B、这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82% C、这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定 D、在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为 $\frac{4}{11}$

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10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走 $d$ 里，九天他共行走了一千二百六十里，求 $d$ 的值.关于该问题，下列结论正确的是（）

A、 $d = 15$ B、此人第三天行走了一百二十里 C、此人前七天共行走了九百一十里 D、此人有连续的三天共行走了三百九十里

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11. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心为 $O$ ，用过点 $O$ 的平面去截正方体，则（）

A、所得的截面可以是五边形 B、所得的截面可以是六边形 C、该截面的面积可以为 $3 \sqrt{3}$ D、所得的截面可以是非正方形的菱形

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12. 设 $a = e^{0.02} - 1$ ， $b = l n 1.02$ ， $c = \frac{1}{51}$ ， $d = \sqrt{1.02} - 1$ ，则（）

A、 $b < a$ B、 $b < c$ C、 $d < b$ D、 $d < c$

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三、填空题

13. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是线段 $B D$ 的中点，若 $\vec{A B} = m \vec{A D} + n \vec{E C}$ ，则 $m - n =$ .

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14. $x^{2} {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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15. 已知P为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上异于顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，写出满足C的焦距小于8且 $3 < k_{1} k_{2} < 4$ 的C的一个标准方程：.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ | l o g_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4} - 4 (x_{3} + x_{4}) =$ ， $(\sqrt{2} + x_{1}) (\sqrt{2} - x_{2}) + 4 x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. a，b，c分别为 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边.已知 $7 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ .

(1)、求 $c o s 2 A$ ；

(2)、若 $b + c = 9$ ， $a^{2} = 12 b^{2} + 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

男
女
合计
喜爱看世界杯
60
20
80
不喜爱看世界杯
40
80
120
合计
100
100
200
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、试根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?

(2)、在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取 $2$ 人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点， $P A = P D$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、证明： $P B / /$ 平面EAC.

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， ${2 - \frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{l o g_{2} a_{n} + l o g_{2} a_{n + 1}}{{(l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1})}^{2}} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ， F为抛物线 $C$ 的焦点，且直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于A，B两点.

(1)、若直线 $l$ 的方程为 $x + y - 2 = 0$ ，求 $△ A B F$ 的面积；

(2)、设线段AB的中点为T，已知点P是不同于A，B的一点，若 $\vec{P M} = λ \vec{M A}$ ， $\vec{P N} = λ \vec{N B} (λ > 0)$ ，且M，N均在抛物线 $C$ 上，证明：直线PT垂直于y轴.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - c o s 2 x) - 2 x s i n x - c o s x + m x$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线斜率为0.

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调区间；

(2)、设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = (2 a - 1) x + (a + 2) x c o s x - s i n 2 x + f^{'} (x)$ ，若 $g (x) > 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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	男	女	合计
喜爱看世界杯	60	20	80
不喜爱看世界杯	40	80	120
合计	100	100	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828