安徽省滁州市2022-2023学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-02-06 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | e^{x} > 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z \bar{z} - i \bar{z} = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、2 C、1或2 D、 $- 1$ 或2

查看试题解析
3. 现有一组数据： $663 ， 664 ， 665 ， 668 ， 671 ， 664 ， 656 ， 674 ， 651 ， 653 ， 652 ， 656$ ，则这组数据的第85百分位数是（）

A、652 B、668 C、671 D、674

查看试题解析
4. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比 $\frac{S}{N}$ 比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至12000，则 $C$ 大约增加了（参考数据： $l g 2 = 0.3010$ ， $l g 3 = 0.4771$ ， $l g 5 = 0.6990$ ）（）

A、25% B、30% C、36% D、45%

查看试题解析
5. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- \frac{1}{10} ， \frac{1}{5})$

查看试题解析
6. 已知抛物线 $E_{1} ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率大于零的直线 $l$ 与 $E_{1}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $l$ 与抛物线 $E_{2} ： y^{2} = - 4 x$ 相切，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = t a n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象经过点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内恰有两个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{3} ， \frac{5}{3}]$ B、 $[\frac{2}{3} ， \frac{5}{3})$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3})$

查看试题解析
8. 已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为 $r_{上} = 1$ ， $r_{下} = 2$ ，母线 $A B$ 长为2，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，则（）

A、圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ B、圆台的侧面积为 $12 π$ C、圆台母线 $A B$ 与底面所成角为60° D、在圆台的侧面上，从点 $C$ 到点 $E$ 的最短路径长为4

查看试题解析
10. 已知 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点（不包含顶点），且 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $x + y = 1$ B、 $x + 2 y = 1$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y} ≥ \sqrt{2}$ D、 $l o g_{2} x + l o g_{2} y \leq - 2$

查看试题解析
11. 已知直线 $l ： (1 + a) x + y + 2 a = 0 (a \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则（）

A、直线 $l$ 必过定点 B、当 $a = 1$ 时， $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 可能相切 D、直线 $l$ 与圆 $C$ 不可能相离

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = e^{t x} - l n x + (t - 1) x$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的可能的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2 e}$ C、 $\frac{1}{e^{2}}$ D、 $\frac{2}{e}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (0 ≤ X ≤ 1) = P (5 ≤ X ≤ 6)$ ，则 $μ =$ .

查看试题解析
14. 若数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列， $S_{5} < 3 a_{4}$ ，写出满足题意的一个通项公式 $a_{n} =$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数， $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称，若 $f (x) + g (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f (2) g (2)$ 的值为.

查看试题解析
16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 且不与两坐标轴平行的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $x$ 轴上的点 $P$ 满足 $| P A | = | P B |$ 且 $| P F | > \frac{2}{3}$ 恒成立，则椭圆 $C$ 离心率 $e$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，满足 $b_{n + 1} = a_{n + 1} b_{n} - a_{n} b_{n}$ ，且 $b_{2}$ ， $2 a_{4}$ ， $b_{5}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${c_{n}}$ 满足： $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， (n 为奇数) \\ b_{n} ， (n 为偶数) \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

查看试题解析
18. 已知条件：① $\frac{t a n B + t a n C}{t a n B} = \frac{2 a}{b}$ ；② $\frac{1 + s i n 2 C - c o s 2 C}{1 + s i n 2 C + c o s 2 C} = \sqrt{3}$ ；③ $\sqrt{3} a = 2 c s i n (B + \frac{π}{3})$ .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足：____.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 4$ ， $M$ 为线段 $P C$ 的中点， $N$ 在线段 $B C$ 上，且 $B N = \frac{1}{4} B C$ .

(1)、求证：平面 $D M N ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $D M N$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析.
甲品种
137
128
130
133
122
乙品种
111
110
109
106
114
（参考数据： $\sqrt{25.2} \approx 5.02$ ， $\sqrt{6.8} \approx 2.61$ ）

(1)、已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量 $X$ 为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量 $X$ 的分布列与期望.

(2)、当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C．V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数 $= \frac{标准差}{平均数} \times 100 %$ .变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.

查看试题解析
21. 平面直角坐标系 $O x y$ 中， $P (x_{0} ， y_{0}) (| x_{0} | > a)$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上一点， $A$ ， $B$ 分别是双曲线 $C$ 的左，右顶点，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率之积为3.

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、设点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q$ ，直线 $P B$ 与直线 $Q A$ 交于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，求证：直线 $P N$ 与双曲线 $C$ 只有一个公共点.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = l n (x - 1) - \frac{k (x - 2)}{x}$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对 $\forall x \in [2 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、已知方程 $\frac{l n (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{3 e}$ 有两个不同的根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 6 e + 2$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数.

查看试题解析

甲品种	137	128	130	133	122
乙品种	111	110	109	106	114