重庆市北碚区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | - 1 \leq x < 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | x < - 1}$ B、 ${x | x < - 1$ 或 $x \geq 2}$ C、 ${x | x \geq 2}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$

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2. 若 $x \in R$ ，则“ $x = - 1$ ”是“ $(x + 1) (x - 2) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第四象限角，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{1 - m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 函数 $f (x) = l g | x | - | x^{2} - 2 |$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 若 $a = e^{0.8}$ ， $b = 0 . 8^{e}$ ， $c = l n 0.8$ ，则a，b，c的人小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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7. 若 $α$ ， $β$ 都是锐角，且 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $c o s β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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8. 已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（）

A、36 B、4 C、16 D、9

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二、多选题

9. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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10. 下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x + 1} > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $l n x_{0} < 1$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是相同函数 D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2

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11. 若将函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $x = \frac{π}{12}$ 不是函数 $g (x)$ 图象的对称轴 D、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称，且函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \in (0 ， 1) \\ 2^{x - 1} - 2 ， x \in [1 ， + ∞) \end{array}$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 m f (x) = 2 (m \in R)$ 有 $n$ 个不同的实数解，则 $n$ 的所有可能的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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三、填空题

13. 计算： $s i n 15 ° c o s 15 ° =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出，则 $g [f (2)] =$ .
$x$
1
2
3
$f (x)$
1
3
1
$g (x)$
3
2
1

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15. 在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为 $\sqrt{2} ： 1$ ，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为 $S_{1}$ ，圆面剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \sqrt{2}$ 时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，关于 $x$ 的不等式 $(x - a) \otimes (x + a) > 0$ .若 $a = 1$ ，则不等式的解集为﹔若 $\forall x \in [0 ， 2]$ 不等式恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2^{x} \leq 8}$ ， $B = {x | 2 < x \leq 5}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 0 < x \leq a}$ ，且 $B \subseteq C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 计算：

(1)、 ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(9.6)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{2}{3})}^{2}$ ；

(2)、 $l o g_{5} 35 + 2 l o g_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} - l o g_{5} \frac{1}{50} - l o g_{5} 14$ .

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19. 在条件：① $2 s i n (2022 π - α) = c o s (2022 π + α)$ ；② $s i n α + c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ；③ $s i n α c o s α = - \frac{2}{5}$ 中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知 $α \in (0 ， π)$ ，且满足条件____.

(1)、求 $\frac{3 s i n α + 4 c o s α}{c o s α - s i n α}$ 的值；

(2)、若 $β \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $c o s β = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $α + β$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{m - 2^{x}}{1 + 2^{x}} (m \in R)$ ，且 $x \in R$ 时，总有 $f (- x) = - f (x)$ 成立.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、判断并用定义法证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq k$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 c o s (4 x + \frac{π}{3}) = a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，我们就称该函数“不动点”函数，实数 $x_{0}$ 为该函数的不动点.

(1)、求函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} - 2$ 的不动点；

(2)、若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ 有两个不动点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $| x_{1} | < 2$ ， $| x_{2} - x_{1} | = 2$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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$x$	1	2	3
$f (x)$	1	3	1
$g (x)$	3	2	1