浙江省宁波市九校2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 2} < 0}$ ， $B = {x | y = l n (x + 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | 3 < x}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 3}$

查看试题解析
2. 下列选项中满足最小正周期为 $π$ ，且在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增的函数为（）

A、 $y = c o s \frac{1}{2} x$ B、 $y = s i n \frac{1}{2} x$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{c o s 2 x}$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{s i n 2 x}$

查看试题解析
3. “ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x (a \in R)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知幂函数 $y = (a^{2} - a - 1) x^{b}$ （ $a > 1$ 且 $a \in Z$ ）过点 $(a ， 8)$ ，则函数 $y = \frac{\sqrt{x + b}}{l o g_{a} (x + 3)}$ 的定义域为（）

A、 $[- 3 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

查看试题解析
5. 已知角 $θ$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过 $A (s i n \frac{4 π}{3} ， c o s \frac{4 π}{3})$ ，则 $c o s (\frac{5 π}{2} - θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（）年（参考数据： $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ， $l g 1.014 = 0.00604$ ）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、8.9

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4 x^{2} - 4 | x |}$ 的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知 $x > y > 0$ ，且 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，则 $2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{17}{16}$ D、 $\frac{9}{8}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列不等式错误的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < 1$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$

查看试题解析
10. 以下命题正确的是（）

A、函数 $y = l n (\sqrt{- x^{2} + x})$ 的单调递增区间为 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、函数 $y = 2 c o s^{2} x + \frac{1}{c o s^{2} x + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $A$ 为三角形内角，则“ $A > 45 °$ ”是“ $s i n A > s i n 45 °$ ”的充要条件 D、设 $α$ 是第一象限，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角

查看试题解析
11. 如图所示，角 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 的终边与单位圆 $O$ 交于点 $P$ ， $A (1 ， 0)$ ， $P M ⊥ x$ 轴， $A Q ⊥ x$ 轴， $M$ 在 $x$ 轴上， $Q$ 在角 $x$ 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知， $s i n x$ ， $t a n x$ 的值分别等于线段 $M P$ ， $A Q$ 的长，且 $S_{△ O A P} < S_{扇形 O A P} < S_{△ O A Q}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = s i n x - x$ 有3个零点 B、函数 $y = t a n x - x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 内有2个零点 C、函数 $y = t a n x + s i n x + x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 内有1个零点 D、函数 $y = t a n x + s i n x - | t a n x - s i n x |$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 内有1个零点；

查看试题解析
12. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $l n \frac{x^{2} - 4 x + 5}{y^{2} + 1} = x + y - 2$ ，则使方程 $\frac{x y + 4}{x^{2} + y^{2}} = m$ 有解的实数 $m$ 可以为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是．

查看试题解析
14. 计算 $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + l o g_{3} (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) =$ .

查看试题解析
15. 已知 $s i n 2 α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\frac{t a n (α - \frac{π}{6})}{t a n (α + \frac{π}{6})}$ 的值为.

查看试题解析
16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + m x ， & x \leq 0 \\ | 2 x + m | - | x + 1 | ， & x > 0 \end{array}$ ，若函数的最小值为 $\frac{m}{2} - 1$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $p$ ： $x^{2} - a x + 4 > 0$ 在 $R$ 上恒成立； $q$ ：存在 $θ$ 使得 $a + 2 \leq s i n θ$ ； $r$ ：存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $3^{x_{0}} + a = 0$ .

(1)、若 $p$ 且 $q$ 是真命题，求实数 $a$ 的范围；

(2)、若 $p$ 或 $r$ 是真命题， $p$ 且 $r$ 是假命题，求实数 $a$ 的范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - 2 a) x - 2 a$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (1) = 6$ ，求函数 $y = \frac{f (x)}{x - 1}$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 上的最小值.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3} t a n x}{t a n^{2} x + 1} + \frac{1}{2} (s i n^{2} x - c o s^{2} x)$ .

(1)、化简 $f (x)$ ，并求解 $f (- \frac{π}{12})$ ；

(2)、已知锐角三角形内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s 2 A$ 的值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (9^{x} + 1) - x$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = 3^{f (x)}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数；

(2)、求使 $f (2 c o s^{2} θ - 3) - f (2 + s i n θ) < 0$ 成立的 $θ$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域 $O D B C$ （阴影部分），以及可利用部分为区域 $O A D$ ，其中 $∠ O C B = ∠ C O A = \frac{π}{2}$ ， $O C = 30 \sqrt{3}$ 米， $B C = 30$ 米，区域 $O B C$ 为三角形，区域 $O A B$ 为以 $O A$ 为半径的扇形，且 $∠ A O D = \frac{π}{6}$ .

(1)、为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域 $O A B C$ 外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；

(2)、在可利用区域 $O A D$ 中，设置一块矩形 $H G I F$ 作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = {(x + s i n 2 θ + 3)}^{2} + {[x + a s i n (θ + \frac{π}{4})]}^{2}$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时， $f (x)$ 最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意实数 $x$ 与任意 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析