天津市红桥区2022-2023学年高一上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | | x | \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 1}$

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2. 函数 $y = 2 s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是（）．

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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3. $\forall x \in R ， 2^{x} > 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， 2^{x} > 0$ B、 $\exists x \in R ， 2^{x} \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， 2^{x} < 0$ D、 $\forall x \in R ， 2^{x} \leq 0$

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4. 下列四个函数中，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数（）．

A、 $y = l o g_{0.5} x$ B、 $y = {(x - 1)}^{2}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = 2^{x}$

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5. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $0 < x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $a = 3^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8}$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 若 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{1}{s i n α c o s α} =$ （）．

A、5 B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 k x - 5$ 在 $[- 2 ， 4]$ 上具有单调性，则实数k的取值范围为（）．

A、 $k \leq - 4$ B、 $k \geq 2$ C、 $k \leq - 4$ 或 $k \geq 2$ D、 $k < - 4$ 或 $k > 2$

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9. 若 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，那么 $c o s (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

10. $s i n 120 ° =$ .

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11. 已知函数 $f (x) = l n (x - 1)$ ，则该函数的定义域为 .

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12. 已知 $x > - 2$ ，则 $x + \frac{9}{x + 2}$ 的最小值为．

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13. 若 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} x ， (x > 0) \\ 2^{x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{3})] =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{0.5} x ， 0 < x \leq 1 \\ - x^{2} + 4 x - 3 ， x > 1 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有两个零点，则实数k的取值是．

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三、解答题

16. 已知 $s i n α = \frac{5}{13}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ．

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $c o s (α - \frac{π}{6})$ 的值．

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17.

(1)、计算： $l g 2 + l g 5 + 3 l o g_{5} 5 - l n 1$ ；

(2)、已知 $3^{a} = 5^{b}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，求a的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (4 x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上的最大值与最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + m (m \in R)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 内的单调性，并证明你的结论；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内是奇函数，求实数m的值．

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