上海市闵行区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、填空题

1. 若集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 3 ， x \in R} ， B = Z$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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2. 观察函数 $y = f (x) ， x \in [0 ， 2]$ 的图像，写出它的值域为．

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3. 已知a是正实数，若 $a^{3} > a^{π}$ ，则a的取值范围是．

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4. 历史上著名的狄利克雷函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 0 ， & x \notin Q \\ 1 ， & x \in Q \end{array}$ ，那么 $D [D (\sqrt{2})] =$ ．

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5. 若“ $x = 0$ ”是“ $x < m$ ”的充分条件，则实数m的取值范围是．

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6. 已知一元二次方程 $x^{2} - n x + 5 = 0$ 的两个实根分别为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ ，则实数n的值为．

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7. 已知幂函数在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是 $y =$ （只需写出一个正确的答案）

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8. 已知 $3^{a} = 5^{b} = m$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则实数m的值为．

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9. 已知 $b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，若不等式 $| x + b | + | x - b | \geq k | b |$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数k的最大值是．

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = x - 4 l o g_{2} x$ ，用二分法计算此函数在区间 $[1 ， 3]$ 上零点的近似值，第一次计算 $f (1)$ 、 $f (3)$ 的值，第二次计算 $f (x_{1})$ 的值，第三次计算 $f (x_{2})$ 的值，则 $x_{2} =$ ．

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11. 已知函数 $y = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq m \\ - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{8}{3} ， x > m \end{array}$ 的值域为 $(- \infty ， 2^{m}]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的表达式分别为 $f (x) = x^{3} ， g (x) = x^{2} + a x + 1$ ．设 $P = (x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] ， Q = (x_{1} - x_{2}) [g (x_{1}) - g (x_{2})]$ ．现有如下四个命题：
①对任意实数 $a 、 x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $Q > 0$ ；
②存在实数 $a 、 x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $P < Q$ ；
③存在实数 $a 、 x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $P = - Q$ ；
④对任意实数a，存在 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $P = Q$ ．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

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二、单选题

13. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{a}{b} < 1$ C、 $a^{2} > a b$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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14. 已知集合 $A = {x}$ ， $B = {x^{2}}$ ，则“ $x = 1$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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15. 设函数 $y = | x - 1 |$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[0 ， 3]$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，b的值不唯一 B、当 $b = 1$ 时，a的值不唯一 C、 $b - a$ 的最大值为3 D、 $b - a$ 的最小值为3

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16. 存在函数 $y = f (x)$ ，满足对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 $f (| x | - 1) = | x + 1 |$ B、 $f (| x - 1 |) = | x + 1 |$ C、 $f (x^{2} + 2 x) = | x + 1 |$ D、 $f (x^{2} - 1) = | x + 1 |$

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三、解答题

17. 设集合 $A = {x | | x - a | < 3} ， B = {x ∣ \frac{1}{x - 1} < 0}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，试用区间表示集合A、B，并求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A$ $B$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知指数函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值与最小值之和等于12．

(1)、求 $y = f (x)$ 的表达式：

(2)、若函数 $y = g (x) ， x \in R$ 是奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) = f (x) - 5$ ．试求函数 $y = g (x)$ 的表达式，并求此函数的零点．

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19. 某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量 $t (x)$ （单位：斤）与定价x（单位：元/斤）满足如下函数关系： $t (x) = - 10 x + \frac{4500}{x} + 500 ， 15 \leq x \leq 50$

(1)、为使销售量不小于150斤，求定价x的取值范围；

(2)、试写出总销售额）y（单位：元）关于定价x的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x的值．

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20. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = x + l n (\frac{1 + x}{1 - x})$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图像，

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求函数 $y = g (x)$ 的表达式，并求 $g (x) + g (2 - x)$ 的值；

(3)、若不等式 $g (a^{2}) + g (2 b^{2} + 1) \leq 4$ 恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？

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21. 已知函数 $y = F (x)$ 的定义域为 $D$ ， $t$ 为大于 $0$ 的常数，对任意 $x \in D$ ，都满足 $F (x) > \frac{F (x + t) + F (x - t)}{2}$ ，则称函数 $y = F (x)$ 在 $D$ 上具有“性质 $A$ ”．

(1)、试判断函数 $y = 2^{x}$ 和函数 $y = - x^{2}$ 是否具有“性质 $A$ ”（无需证明）；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 具有“性质 $A$ ”，且 $f (0) > f (\frac{1}{2})$ ，求证：对任意 $n \in N$ ，都有 $f (n) > f (n + 1)$ ；

(3)、若函数 $y = g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且具有“性质 $A$ ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若 $y = g (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是严格增函数，则此函数在 $R$ 上也是严格增函数；
②若 $y = g (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是严格减函数，则此函数在 $R$ 上也是严格减函数．

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