山东省青岛市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {2 ， 4 ， 6 ， 8} ， C = {3 ， 6 ， 9}$ ，则 $(A ∪ B) ∩ C$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 下述正确的是（）

A、若 $θ$ 为第四象限角，则 $s i n θ > 0$ B、若 $c o s θ = 0$ ，则 $θ = \frac{π}{2}$ C、若 $θ$ 的终边为第三象限平分线，则 $t a n θ = - 1$ D、“ $θ = k π + \frac{π}{4} ， k \in Z$ ”是“ $s i n θ = c o s θ$ ”的充要条件

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3. 函数 $y = \sqrt{{log}_{2} x}$ 的定义域是（）

A、(0，1] B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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4. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a^{2} b > a b^{2}$ C、 $| a | > - b$ D、 $a < \frac{a + b}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增

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7. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $| x | \leq \frac{π}{2}$ 时， $f (- s i n x) + 2 f (s i n x) = 3 s i n x c o s x$ ，且 $f (x + 2) = f (x)$ ，则 $f (\frac{36}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $- \frac{36}{25}$ D、 $\frac{36}{5}$

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8. 已知函数 $f (x)$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2} ， x_{2} f (x_{1}) + x_{1} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2})$ 恒成立，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，设 $a = f (l o g_{3} \frac{1}{2}) ， b = f (l o g_{3} 4) ， c = f (l o g_{3} 3^{- 1})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知 $s i n x = \frac{3}{5} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $s i n (π - x) = \frac{3}{5}$ B、 $c o s (x - π) = \frac{4}{5}$ C、 $s i n (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}$ D、 $c o s (x - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ ，则（）

A、若 $α = 3$ ，则函数 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $α = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减 C、若 $α = \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域 $[0 ， + ∞)$ D、若 $α = \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = f (x) - c o s x$ 只有一个零点

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11. 下述正确的是（）

A、若 $x \in R$ ，则 $x (10 - x)$ 的最大值是25 B、若 $x > 0$ ，则 $\frac{- x^{2} + x - 4}{x}$ 的最大值是 $- 3$ C、若 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $s i n x + \frac{4}{s i n x}$ 的最小值是4 D、若 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{9}{s i n^{2} x} + \frac{2}{c o s^{2} x} - \frac{4}{c o s x}$ 的最小值是12

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞) ， f (x) + f (y) = f (x y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (f (2)) < 1$ C、 $f (x)$ 是增函数 D、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 1$

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三、填空题

13. 计算： $l g 100 - (27)^{\frac{1}{3}} =$ .

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14. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 的初始位置坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，线段 $O P$ 绕点 $O$ 顺时针转动 $9 0^{∘}$ 后，点 $P$ 所在位置的坐标为.

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15. 若 $t a n α = 2$ ，则 $s i n^{4} α + s i n α c o s α - c o s^{4} α =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2 - 3^{x}}{2 + 3^{x}}$ ，若 $θ \in (- π ， π) ， f [2 t^{2} - 8 s i n (θ - \frac{π}{3}) t + 3] < - \frac{1}{5}$ 在 $t \in (0 ， + \infty)$ 时恒成立，则 $θ$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知全集为 $R ， M = [- 2 ， 2] ， N = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ .

(1)、求 $M ∩ (∁_{R} N)$ ；

(2)、若 $C = {x ∣ 1 - 2 a \leq x \leq a}$ ，且 $C \cup M = C$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - m) x - m$ .

(1)、若 $\forall x \in R ， f (x) > - 1$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) - 1 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2} ， \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，方程 $f (x) = m$ 有解，求实数 $m$ 的范围.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 4) + l o g_{a} (5 - x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过点 $P (3 ， - 2)$ .

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[3 ， \frac{9}{2}]$ 上的最大值；

(3)、若 $2^{m} = 3^{n} = t (\frac{5}{2} < t < 3)$ ，比较 $f (2 m)$ 与 $f (3 n)$ 的大小.

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21. 2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内（以30天记）每件的销售价格 $P (x)$ （单位：百元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系式近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正常数），日销售量 $Q (x)$ （件）与时间 $x$ 的部分数据如下表所示：
$x$ （天）
5
10
15
25
30
$Q (x)$ （件）
115
120
125
115
110
已知第10天的日销售收入为132百元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $Q (x) = a x + b$ ， ② $Q (x) = a | x - 15 | + b$ ， ③ $Q (x) = a \cdot b^{x}$ ， ④ $Q (x) = a \cdot l o g_{b} x$ .
请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量 $Q (x)$ （单位：件）与时间 $x$ （天）的变化关系，并求出该函数解析式；

(3)、求该吉祥物摆件的日销售收入 $f (x) (1 \leq x \leq 30 ， x \in N *)$ （单位：百元）的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 1 ， g (x) = e^{x} - x - 1$ ，对 $t > 0$ 且 $\frac{x + t - 1}{x - 1} > 0$ ，恒有 $\frac{f (x + t) - f (x)}{x - 1} > 0$

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 的图象只有一个交点.

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$x$ （天）	5	10	15	25	30
$Q (x)$ （件）	115	120	125	115	110