江苏省南通市通州区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 终边经过点 $P (3, - 4)$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x^{2}}} ， B = {x | y = l n x}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 ${1}$

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3. “ $α = 2 k π + \frac{π}{6} ， k \in Z$ ”是“ $s i n α = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 心理学家经常用函数 $L (t) = A (1 - e^{- k t})$ 测定时间 $t$ （单位： $m i n$ ）内的记忆量 $L$ ，其中A表示需要记忆的量， $k$ 表示记忆率．已知一个学生在 $5 m i n$ 内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率 $k$ 约为（） $(l n 0.9 \approx - 0.105 ， l n 0.1 \approx - 2.303)$

A、 $0.021$ B、 $0.221$ C、 $0.461$ D、 $0.661$

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5. 已知 $t a n^{2} α - s i n^{2} α = 2$ ，则 $t a n^{2} α s i n^{2} α$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 将函数 $y = s i n x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $c o s (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ D、 $c o s (\frac{1}{2} x - \frac{5 π}{6})$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数， $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上单调递增，则不等式 $f (x + 1) > f (- 1)$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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8. 设 $a = l o g_{3} 4 + l o g_{4} 3 ， 3^{a} + 4^{a} = 5^{b}$ ，则（）

A、 $a > b > 2$ B、 $a > 2 > b$ C、 $b > a > 2$ D、 $b > 2 > a$

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二、多选题

9. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $P (4 ， 2)$ ，则（）

A、 $f (x) = (\sqrt{2})^{x}$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， + ∞)$ C、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ D、 $f (x) > x^{2}$ 的解集为 $(0 ， 1)$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若 $| a | > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a l g c > b l g c$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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11. 关于 $x$ 的不等式 $a (x - 1) (x - a) < 0$ 的解集可能是（）

A、 $(- \infty ， a) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (a ， + \infty)$ C、 $(1 ， a)$ D、 $\emptyset$

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12. 对于任意两个正数 $u ， v (u < v)$ ，记曲线 $y = \frac{1}{x}$ 与直线 $x = u ， x = v ， x$ 轴围成的曲边梯形的面积为 $L (u ， v)$ ，并约定 $L (u ， u) = 0$ 和 $L (u ， v) = - L (v ， u)$ ，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现 $L (1 ， x) = l n x$ ．关于 $L (u ， v)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $L (\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}) = L (4 ， 8)$ B、 $L (2^{100} ， 3^{100}) = 100 L (2 ， 3)$ C、 $L (u^{u} ， v^{u}) > v - u$ D、 $2 L (u ， v) < \frac{v}{u} - \frac{u}{v}$

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三、填空题

13. 已知扇形的周长为6，圆心角为 $1 r a d$ ，则该扇形的面积为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 0 ， \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 1} ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若 $f (f (x)) = 1$ ，则 $x$ 的值为．

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15. 已知 $c o s (75 ° + α) = \frac{1}{3}$ ，且 $- 180 ° < α < - 90 °$ ，则 $c o s (15 ° - α)$ 的值为．

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16. 设函数 $f (x) = (| x | - 2) | x + 1 |$ ，则 $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值为；若 $f (x)$ 的定义域与值域都是 $[a ， b]$ ，则 $a + b =$ ．

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 $4 9^{\frac{1}{2}} - (- 3)^{- 2} \times {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} + {(π - 3)}^{0}$ ；．

(2)、 $l g 0.001 + (l g 5)^{2} + l g 2 l g 50 + e^{3 l n 2}$ ．

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18. 已知 $A = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ， $B = {x | a x - 1 \geq 0}$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、从① $B ∪ (∁_{R} A) = R$ ；② $A ∩ B = A$ ；③ $A ∩ (∁_{R} B) = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．
问题：若______，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 求解下列问题：

(1)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α)}{s i n (- α) + c o s (2 π - α)}$ 的值．

(2)、已知 $s i n α + c o s α = \frac{1}{3} ， \frac{π}{2} < α < π$ ，求 $\frac{1}{s i n α} - \frac{1}{c o s α}$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期､图象的对称中心及其单调减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最值及其对应的 $x$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} + m a^{- x} (0 < a < 1)$ 是奇函数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、已知不等式 $f (n x^{2} - (n + 2) x + 2) \leq \frac{1}{a} - a$ 对任意 $x \in [- 2 ， 2]$ 都成立，求实数 $n$ 的取值范围．

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22. 已知指数函数 $f (x)$ 满足 $f (1) - f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) + k f (x)$ ，若方程 $g (x) + g (- x) + 10 = 0$ 有4个不相等的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ．
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（i i）证明： $| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | + | x_{4} | < 4$ ．

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