湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 设 $p ： a > 0$ ， $q ： a^{2} + a > 0$ ，那么 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位 $(x + \frac{600}{x} - 30)$ 元（试剂的总产量为 $x$ 单位， $50 \leq x \leq 200$ ），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）

A、60单位 B、70单位 C、80单位 D、90单位

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4. 若函数 $y = \sqrt{k x^{2} - 6 k x + (k + 8)}$ 的定义域为 $R$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + ∞)$ B、 $(1 ， + ∞)$ C、 $(1 ， + \infty) \cup {0}$ D、 $[0 ， 1]$

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5. 当 $0 < a < 1$ 时，在同一坐标系中，函数 $y = a^{- x}$ 与 $y = l o g_{a} x$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ， $B (\frac{π}{3} ， 0)$ ，则下列说法错误的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 s i n 2 x$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位而得到

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1 ， - 3)$ ，且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 2) + 3 < 0$ 成立的 $x$ 取值范围为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3]$

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二、多选题

9. 定义集合运算： $A \otimes B = {z ∣ z = (x + y) \times (x - y) ， x \in A ， y \in B}$ ，设 $A = {\sqrt{2} ， \sqrt{3}}$ ， $B = {1 ， \sqrt{2}}$ ，则（）

A、当 $x = \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{2}$ 时， $z = 1$ B、 $x$ 可取两个值， $y$ 可取两个值， $z = (x + y) \times (x - y)$ 有4个式子 C、 $A \otimes B$ 中有4个元素 D、 $A \otimes B$ 的真子集有7个

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10. 要得到 $y = c o s 2 x$ 的图象 $C_{1}$ ，只要将 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 图象 $C_{2}$ 怎样变化得到

A、将 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象 $C_{2}$ 沿x轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、将 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象 $C_{2}$ 沿x轴方向向右平移 $\frac{11 π}{12}$ 个单位 C、先作 $C_{2}$ 关于x轴对称图象 $C_{3}$ ，再将图象 $C_{3}$ 沿x轴方向向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位 D、先作 $C_{2}$ 关于x轴对称图象 $C_{3}$ ，再将图象 $C_{3}$ 沿x轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 是有理数 \\ 0 ， x 是无理数 \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（）．

A、 $D (x)$ 的值域是 ${0 ， 1}$ B、 $\forall x \in R$ ，都有 $D (- x) + D (x) = 0$ C、存在非零实数 $T$ ，使得 $D (x + T) = D (x)$ D、对任意 $a ， b \in (- \infty ， 0)$ ，都有 ${x | D (x) > a} = {x | D (x) > b}$

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12. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点.下述四个结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有 $3$ 个最大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有2个最小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5} ， \frac{29}{10})$

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三、填空题

13. 已知命题 $p$ ：“ $\exists x \in R$ ， $s i n x < \frac{1}{2} x$ ”，则 $\neg p$ 为．

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 4$ ，则 $l o g_{2} x + l o g_{2} y$ 的最大值是.

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15. 某堆雪在融化过程中，其体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）与融化时间 $t$ （单位： $h$ ）近似满足函数关系： $V (t) = H {(10 - \frac{1}{10} t)}^{3}$ （ $H$ 为常数），其图像如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 $\bar{v} (m^{3} / h)$ .那么 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} ， t_{4}$ 中，瞬时融化速度等于 $\bar{v} (m^{3} / h)$ 的时刻是图中的.

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω ＞ 0 ， | φ | ＜ \frac{π}{2})$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 上单调，且对任意实数x均有 $f (\frac{4 π}{3}) ≤ f (x) ≤ f (\frac{π}{3})$ 成立，则φ=

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 3 - 2 m \leq x \leq 2 + m}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \geq 0}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B ， A \cup (C_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 某单位建造一间地面面积为 $12 m^{2}$ 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 $x$ 不超过 $6$ 米，房屋正面的造价为400元 $/ m^{2}$ ，房屋侧面的造价为 150元 $/ m^{2}$ ，屋顶和地面的造价费用合计为 $5800$ 元．

(1)、把房屋总造价 $y$ 表示成 $x$ 的函数，并写出该函数的定义域．

(2)、当侧面的长度为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $y$ 轴右边的一部分图象如图所示．

(1)、判断函数奇偶性并证明，作出函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $y$ 轴左边的图象．

(2)、判断函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上的单调性，并用单调性定义加以证明．

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20. 化简求值．

(1)、化简 $\frac{s i n (π - α) s i n (\frac{π}{2} - α)}{c o s (π + α) c o s (\frac{π}{2} + α)}$ ．

(2)、已知： $t a n α = 2$ ，求 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{5 c o s α - s i n α}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的振幅、频率、初始相位，以及在 $x \in [0 ， 2 π]$ 上的增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{3})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $h (x_{1}) = h (x_{2})$ ，求 $h (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、已知 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ .若 $a < 0$ ，且 $g (\frac{3}{2}) = \frac{5}{4}$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数；

(3)、若在 $[0, 2]$ 上存在 $n$ 个不同的点 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n . n \geq 3)$ ， $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + \cdot \cdot \cdot + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) | = 8$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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