湖南省郴州市教研联盟2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x \leq - 2$ 或 $x \geq 3} ，$ $B = {x ∣ x < - 1$ 或 $x > 4}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x < 4}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ C、 ${x ∣ - 2 < x < - 1}$ D、 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 4}$

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2. 已知 $α, β \in R$ ，则“存在 $k \in Z$ 使得 $α = k π + {(- 1)}^{k} β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $x > - 5$ ，则 $x + \frac{4}{x + 5}$ 的最小值为（）

A、-1 B、3 C、-3 D、1

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4. 已知不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则不等式 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x < - 1 或 x > \frac{1}{2}}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | x < - 2 或 x > 1}$

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5. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为 $2$ 的偶函数，已知当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = x$ ，则当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $x + 4$ B、 $2 - x$ C、 $3 - | x + 1 |$ D、 $2 + | x + 1 |$

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6. 函数 $y = \frac{1}{x} - \ln (x + 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有 $f (x - 2) = f (x + 2)$ ，且当x∈[﹣2，0]时， $f (x) = (\frac{1}{2})^{x} - 1$ ．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程 $f (x) - l o g_{a} (x + 2) = 0 (a > 1)$ 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）

A、（1，2） B、（2，+∞） C、 $(1 ， \sqrt[3]{4})$ D、 $[\sqrt[3]{4} ， 2)$

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8. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin ω x + \cos ω x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $(0, 2]$

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二、多选题

9. 若 $p ： x^{2} + x - 6 = 0$ 是 $q ： a x + 1 = 0$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0 (a < 0)$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} < 0$ 的解集为 ${a | - \frac{4}{3} < a < 0}$ B、 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ C、 $x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4 ， [2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$

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12. 设函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（）

A、在 $(0, π)$ 上存在 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 有且仅有1个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | x < a} ， B = {x | 1 < x < 2}$ ，且 $A \cup (∁_{R} B) = R$ ，则实数a的取值范围为.

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} + (m - 3) x + 1}$ 的值域是 $[0 ， + ∞)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3) ， g (x) = 2^{x} - 2$ ．若对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x - c o s 2 ω x - 1 (ω > 0 ， x \in R)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(- ω ， ω)$ 内单调递增，且函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $(ω ， - 1)$ 对称，则函数 $y = f (x)$ 的最大值为， $ω =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明： $f (x)$ 是增函数.

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18. 已知函数 $f (x) = m x^{2} + 2 (m + 1) x + 4$ .

(1)、若 $m = 2$ ，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < - 9 m$ 的解集为 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 7) x^{m - 2}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) - (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最小值 $h (a)$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = l g \frac{a - x}{1 + x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $a$ 的值

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 5]$ 内有意义，求 $a$ 的取值范围

(3)、在（1）的条件下，若 $f (x)$ 在区间 $(m ， n)$ 上的值域为 $(- 1 ， + \infty)$ ，求区间 $(m ， n)$

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(3)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上有且仅有两个零点，求 $m$ 的取值范围.

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