湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ | x - 1 | < 2}$ ，集合 $B = {x ∣ l o g_{2} x < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 4}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 3}$

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2. 下列函数既是奇函数又在 $(- 1 ， 3)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} - x$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = s i n π x$ D、 $y = x^{3} + 3 x$

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3. 设 $a = 1.0 1^{0.99} ， b = 0.9 9^{1.01} ， c = l o g_{0.99} 1.01$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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4. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{7}{13} (0 < α < π)$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{12}{5}$ B、 $- \frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{5}$

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5. 若不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $[1 ， 3]$ ，则不等式 $\frac{a x + c}{c x + b} \geq 0$ 解集为（）

A、 $(- ∞ ， - 3] \cup [\frac{4}{3} ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 3] \cup (\frac{4}{3} ， + ∞)$ C、 $[- 3 ， \frac{4}{3}]$ D、 $[- 3 ， \frac{4}{3})$

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6. “ $\frac{π}{2} < A < π$ ”是“ $t a n \frac{A}{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = 3$ 恒成立，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{(a - 2) x^{2} - (a + 1) x + 3}$ 的值域为 $(0 ， + ∞) ， g (x) = l g (x^{2} - 10 x + 5 b)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，则 $a + b =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} + \frac{5 π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 的奇函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 增区间为 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$

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11. 若关于 $x$ 的方程 $4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 9 = 0$ 在区间 $[0 ， 4]$ 上有两个不等的实根，则 $a$ 的可能取值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x < 4 \\ 4 s i n (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6}) ， 4 \leq x \leq 14 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不等的实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < m < 2$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $x_{3} + x_{4} = 16$ D、 $x_{1} x_{3}$ 取值范围为 $(0 ， 5)$

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三、填空题

13. 已知扇形的圆心角为4 rad，周长为12，则扇形的面积为．

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14. 若 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{2 + c o s^{2} α}{s i n^{2} α + 2 s i n α c o s α - 3 c o s^{2} α} =$ ．

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15. 若 $\forall x \in (- 1 ， 1) ， x^{2} - a x + 2 a < 0$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知 $3 a + l n a = 3 ， l n (2 - b) - 3 b = - 3$ ，则 $a + 3 b =$ ．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt[6]{32} \times \sqrt{2} \times {(0.25)}^{- \frac{1}{3}} \times {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $l g \frac{7}{6} + l g 4 - \frac{1}{2} l g 49 + l g 15 + 5^{2 l o g_{5} 3}$ ．

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18. 已知对数函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a + 3) l o g_{a} x$ ，

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、解不等式 $f (\frac{1}{m}) > f (2 m - 1)$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{2 π}{3} - 2 x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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20. 如图，某市计划在一块空地上划出一块矩形区域用于修建“双子星”地标建筑，其底面为两个相同的矩形，每个底面占地面积为 $300 m^{2}$ ，在底面外周及两底面之间修建宽为 $2 m$ 的过道，设地标建筑的底面一边长为 $x m$ ，地标建筑及过道的总建筑面积为 $f (x) m^{2}$ ，由于地形限制，要求图中 $x$ 不少于 $25 m$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式并指出 $x$ 的取值范围；

(2)、为了节约土地，地标建筑及其周围过道的总建筑面积应尽可能小，地标建筑的底面的尺寸怎样设计时，总建筑面积 $f (x)$ 最小？最小总建筑面积是多少？

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $25 x^{2} - a x + 12 = 0$ 的两根为 $s i n θ$ 和 $c o s θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ ，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n (θ + \frac{π}{2}) - c o s (θ - \frac{π}{2}) + s i n (θ - π) c o s (π + θ)}{4 c o s (θ + \frac{π}{2}) - 1}$ 的值．

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22. 已知 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - k x$ 为偶函数．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、解不等式 $f (2^{x} - 1) < l o g_{2} 5 - 1$ ；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} - m f (x) + 4 = 0$ 有4个不相等的实根，求 $m$ 的取值范围．

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