湖北省武汉市重点中学4G 联合体2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l n (2 - x)}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$

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3. 已知函数 $f (x + 2)$ 的定义域为 $(- 1 ， 1)$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 设函数 $f (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $4$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x < 0 \\ (a - 2) x + 3 a ， x \geq 0 \end{array}$ ，满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \in (0 ， 1)$ B、 $a \in (2 ， + \infty)$ C、 $a \in (0 ， \frac{1}{3}]$ D、 $a \in [\frac{3}{4} ， 2)$

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6. 已知 $a = l n \frac{1}{2}$ ， $b = s i n \frac{π}{6}$ ， $c = 2^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $2 x + y + \frac{2 y}{x}$ 的最小值为（）

A、 $5 + 4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 4 \sqrt{2}$ C、9 D、7

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8. 已知单调函数f（x）满足 $f (f (x) - e^{x} - l n x + 4) = e - 3$ ，则函数 $f (x)$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}})$ B、 $(\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(1 ， e)$

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二、多选题

9. 设 $a ， b ， c \in R$ ， $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + c < b + c$ B、 $e^{- a} > e^{- b}$ C、 $a c^{2} < b c^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{7 π}{6}$ 是第三象限角 B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $c o s α = - \frac{3}{5}$ D、若角 $α$ 为锐角，则 $2 α$ 为钝角．

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11. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} - b x - b + 1)$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域为R B、当 $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为R C、函数 $f (x)$ 有最小值的充要条件为： $b^{2} + 4 b - 4 < 0$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $b$ 的取值范围是 $(- \infty ， \frac{5}{3})$

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12. 若函数 $f (x)$ 在其定义域内是奇函数或偶函数，则称 $f (x)$ 具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（）

A、 $f_{1} (x) = (x - 1) \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ B、 $f_{2} (x) = \frac{\sqrt{3 - x^{2}}}{| x - 3 | - 3}$ C、 $f_{3} (x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ D、 $f_{4} (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x < - 1 \\ 0 ， - 1 \leq x \leq 1 \\ - x + 1 ， x > 1 \end{array}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} x ， x > 0 \\ 2^{1 - x} + 3 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{9})) =$ ．

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14. 已知 $\frac{c o s α + s i n α}{c o s α - s i n α} = 2$ ，则 $s i n^{2} α - 2 s i n α c o s α =$ ．

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15. 已知函数 $y = - x^{2} + 3 x - a$ 与 $y = x + 1$ 的图像上存在关于 $x$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} + 1} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ，若 $\exists m \in [1 ， 4]$ ，使得不等式 $f (4 - m a) + f (m^{2} + 3 m) \leq 2$ 成立，则实数 $a$ 的最大值是．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $α$ 为第二象限角，求 $c o s α$ ， $t a n α$ 的值；

(2)、化简求值： $(l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) \cdot (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) + {(\frac{64}{27})}^{- \frac{1}{3}}$

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18. 已知 $p ： x^{2} - 5 x - 6 < 0$ ， $q ： 1 - m \leq x \leq 3 + m$ ．

(1)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产 $x$ 千件该产品，需另投入成本 $F (x)$ 万元，且 $F (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 60 \\ 901 x + \frac{8100}{x} - 21980 ， x \geq 60 \end{array}$ ，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．

(1)、求出全年的利润 $G (x)$ 万元关于年产量 $x$ 千件的函数关系式；

(2)、试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a x + b}$ （ $a$ ， $b$ 为常数，且 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ），满足 $f (2) = 1$ ，方程 $f (x) = x$ 有唯一解．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式

(2)、如果 $f (x)$ 不是奇偶函数，证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， + \infty)$ 上是增函数．

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21. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，

(1)、求函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的对称中心；

(2)、已知 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ， $g (x) = m x + 1 - 2 m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [2 ， 3]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知 $x = 1$ 是函数 $g (x) = a x^{2} - 3 a x + 2$ 的零点， $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + k (\frac{3}{| 2^{x} - 1 |}) - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围．

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