湖北省部分重点中学2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + l n x$ 的定义域是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $（ - ∞ ， - 1 ） \cup (- 1 ， + ∞)$

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2. 已知点 $P (\tan α ， \cos α)$ 在第三象限，则角 $α$ 的终边位置在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $a = 3^{0.7}$ ， $b = l o g_{0.7} 0.8$ ， $c = t a n \frac{3 π}{4}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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4. 函数 $f (x) = x - 2 + l o g_{2} x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) = 3^{x} + \frac{1}{2}$ ，则 $f (2023)$ =（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{55}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{c o s (x - \frac{π}{2})}{| x |}$ 的部分图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{2} ， 4)$ B、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{5}{2} ， \frac{11}{2})$ D、 $[\frac{5}{2} ， 4]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | {log}_{2} (x - 1) | ， 1 < x \leq 3 \\ x^{2} - 8 x + 16 ， x > 3 \end{matrix} MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaaqaaaaaaaaaWdbiaadAgadaqadaWdaeaa
peGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maaceaapaqaauaabeqace
aaaeaapeWaaqWaa8aabaWdbiaabYgacaqGVbGaae4za8aadaWgaaWc
baWdbiaaikdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiEaiabgkHiTi
aaigdaaiaawIcacaGLPaaaaiaawEa7caGLiWoacaGGSaGaaGymaiab
gYda8iaadIhacqGHKjYOcaaIZaaapaqaa8qacaWG4bWdamaaCaaale
qabaWdbiaaikdaaaGccqGHsislcaaI4aGaamiEaiabgUcaRiaaigda
caaI2aGaaiilaiaadIhacqGH+aGpcaaIZaaaaaGaay5Eaaaaaa@612E@$ ，若方程 $y = f (x) - m$ 有4个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$ （）．

A、10 B、8 C、6 D、4

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{3} > 0$ 的否定为： $\exists x > 0 ， x^{3} \leq 0$ . B、 $f (x) = l g x^{2}$ 与 $g (x) = 2 l g x$ 为同一函数 C、若幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (9) = 2$ D、函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = l o g_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $y = - \cos 3 x$ 的图象

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 2 x - 3 | ， 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}) ， x > 2 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - \frac{1}{6} x$ 有3个零点 B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、当 $x \in [2^{n - 1} ， 2^{n}] (n \in N^{*})$ 时，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. $c o s (- \frac{17 π}{3}) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ < π)$ 的图象如图所示. 则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为 $π$ ，则该勒洛三角形的面积为.

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16. 函数 $f (x) = l n (\sqrt{1 + a x^{2}} + 2 x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且关于 $x$ 的不等式 $f (2 m - m s i n x) + f (c o s^{2} x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点 $M$ 的坐标为 $(\frac{3}{5} ， y_{0})$ ，且 $α \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ .

(1)、求 $s i n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{c o s (π - α) + c o s (\frac{9 π}{2} + α ）}{s i n (\frac{3 π}{2} + α) \cdot t a n (α - π)}$ 的值.

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18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为 $1200 m^{2}$ 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

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19. 设函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4}) ， x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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20. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度 $v （$ 米 $/$ 秒 $）$ 之间满足关系： $q = 10 \times 2^{\frac{v}{5}} （ 0 \leq v \leq 33 ）$ ，其中 $q$ 表示燕子耗氧量的单位数． $（$ 参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ， $l g 3 \approx 0.48 ）$

(1)、当该燕子的耗氧量为 $720$ 个单位时，它的飞行速度大约是多少？

(2)、若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的 $3$ 倍，则它的飞行速度大约增加多少？

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - b (a ， b \in R)$ ．

(1)、若 $b = - 1$ ，且函数 $f (x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $b = 1 - a$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(3)、若正数 $a ， b$ 满足 $a + \frac{4}{b} \leq 3$ ，且对于任意的 $x \in [1 ， + \infty) ， f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a ， b$ 的值．

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22. 设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ ( $a$ 为实数).

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1 ， 2]$ 使不等式 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} - 1$ 成立，求 $k$ 的范围；

（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b ，$ 若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 1] ，$ 总存在 $x_{2} \in [0 ， 1] ，$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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