河南省南阳市桐柏县2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知p： $m - 1 < x < m + 1$ ， q： $2 < x < 6$ ，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（）

A、（3，5） B、 $[3 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 3) ∪ (5 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3] ∪ [5 ， + \infty)$

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2. “ $- 1 < x < 2$ ”的一个充分不必要条件是“ $a < x < a^{2} + 1$ ”，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1]$

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3. 已知图象开口向上的二次函数 $f (x)$ ，对任意 $x \in R$ ，都满足 $f (\frac{3}{2} - x) = f (x + \frac{3}{2})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(a ， 2 a - 1)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{5}{4}]$ B、 $(1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | 2^{x} - 1 | ， & x ⩽ 2 \\ - x + 5 ， & x > 2 \end{matrix}$ ，若互不相等的实数 $a ， b ， c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是（）

A、 $(16 ， 32)$ B、 $(18 ， 34)$ C、 $(17 ， 35)$ D、 $(6 ， 7)$

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5. 已知 $f (x) = \log_{a} (3 - 2 a x)$ 在 $[1, 2]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{3}{2})$ C、 $(0, \frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$

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6. 定义运算： $x \otimes y = {\begin{array}{l} | y | ， x \geq y \\ x ， x < y \end{array}$ ，已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) \otimes (x - 1)$ ，若函数 $y = f (x) - c$ 恰有两个零点，则实数c的取值范围是（）

A、[－3，－2） B、 $[- 3 ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$ C、[－2，2] D、 $(- 3 ， - 2) ∪ [2 ， + \infty)$

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7. 甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差 $s_{甲}^{2} ， s_{乙}^{2} ， s_{丙}^{2}$ 的大小关系是（）

A、 $s_{丙}^{2} < s_{乙}^{2} < s_{甲}^{2}$ B、 $s_{丙}^{2} < s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}$ C、 $s_{乙}^{2} < s_{丙}^{2} < s_{甲}^{2}$ D、 $s_{乙}^{2} < s_{甲}^{2} < s_{丙}^{2}$

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8. 现有如表所示的五项运动供选择，记试验F“某人运动的总时长大于或等于60min的运动组合方式”，则该试验中样本点的个数为（）
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7：00~8：00
8：00~9：00
9：00~10：00
10：00~11：00
11：00~12：00
30 min
20 min
40 min
30 min
30 min

A、7 B、6 C、10 D、23

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若集合 $M \subseteq N$ ，则 $M \subseteq (M \cup N)$ B、若 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ C、“ $a = b$ ”是“ $a c^{2} = b c^{2}$ ”的充要条件 D、已知 $p ： \forall x \in R ， x > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0} < 0$

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10. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = l o g_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的增区间是 $(1 ， + \infty)$ B、函数 $y = 2^{| x |}$ 是偶函数 C、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x - 3}$ 的减区间是 $(1 ， + \infty)$ D、幂函数图象必过原点

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11. 已知函数 $y = a^{| x |}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的值域为 $(0 ， 1]$ ，函数 $f (x) = l o g_{a} (a^{2} x) - \frac{1}{a} x$ ， $x \in [a ， 2]$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $0 < a < 1$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a ， 2]$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 在 $[a ， 2]$ 上的最大值为2 D、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[a ， 2]$ 上的最小值为-3

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12. 设 $A ， B$ 为同一随机试验中的两个随机事件， $A ， B$ 的对立事件分别为 $\bar{A} ， \bar{B}$ ， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = n (0 \leq n \leq 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $n = 0.6$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 一定不互斥 B、若 $n = 0.5$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 一定对立 C、若 $n = 0.6$ ，则 $P (\bar{A} B)$ 的值为 $0.3$ D、若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立且 $P (A \bar{B}) = 0.4$ ，则 $n = 0.2$

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三、填空题

13. 已知奇函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的减函数，且满足不等式 $f (x - 3) + f (x^{2} - 3) < 0$ ，则不等式解集．

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14. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率是．

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15. 碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的.

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16. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x^{3} \geq 8$ ”是“”的充分条件，是“”的必要条件．（答案不唯一，写出一组即可）

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x ⟨ 2 或 x ⟩ 6} ， B = {x | a \leq x \leq a + 3}$ ．

(1)、若 $a = 3$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、 $A \cap B = \emptyset$ 时，求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + a)$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、若 $f (2) = 2$ ，求a的值.

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值与最小值的差为1，求a的值.

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19. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，采用分层随机抽样的方法从A，B两个地区共抽取了500名用户，用户根据满意程度对该公司产品进行评分（满分100分），该公司将收集到的数据按照 $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ 进行分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知A地区用户约为40000人，B地区用户约为10000人．

(1)、求该公司采用分层随机抽样的方法从A，B两个地区分别抽取的用户人数；

(2)、估计B地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户的人数；

(3)、估计A地区用户对该公司产品的评分的平均值为 $μ_{1}$ ， B地区用户对该公司产品的评分的平均值为 $μ_{2}$ ，以及A，B两个地区所有用户对该公司产品的评分的平均值为 $μ_{0}$ ，试比较 $μ_{0}$ 和 $\frac{μ_{1} + μ_{2}}{2}$ 的大小，并说明理由．

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20. 某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．

(1)、若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；

(2)、若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？

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21. 如图，有一块矩形空地 $A B C D$ ，要在这块空地上开辟一个内接四边形 $E F G H$ 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形 $A B C D$ 的四条边上．已知 $| A B | = a (a > 2)$ ， $| B C | = 2$ ，且 $| A E | = | A H | = | C F | = | C G |$ ，设 $| A E | = x$ ，绿地 $E F G H$ 的面积为 $y$ ．

(1)、写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出它的定义域．

(2)、当 $| A E |$ 为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $a = \frac{3}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的值域；

(2)、当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，是否存在这样的实数a，使方程 $f (x) - l o g_{2} \frac{x}{4} = 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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A运动	B运动	C运动	D运动	E运动
7：00~8：00	8：00~9：00	9：00~10：00	10：00~11：00	11：00~12：00
30 min	20 min	40 min	30 min	30 min