广东省广州市增城区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} x ， x > 0 \\ 3^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{9}))$ 的值是（）

A、9 B、 $\frac{1}{9}$ C、-9 D、 $- \frac{1}{9}$

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3. “ $θ = \frac{π}{6}$ ”是“ $c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = l n x + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 设 $a = l o g_{2} 0.3 ， b = l o g_{0.5} 0.4 ， c = 0 . 5^{0.9}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知角 $α$ 终边经过点 $P (3 ， - 4)$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7. 声强级 $L$ （单位：dB）由公式 $L = 10 l g (\frac{I}{1 0^{- 12}})$ 给出，其中I为声强（单位：W/ $m^{2}$ ），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙幅发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为 $I_{1}$ ，人能忍受的最高声强为 $I_{2}$ ，则 $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ =（）

A、10 B、100 C、1000 D、10000

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8. 已知曲线 $C_{1} ： y = s i n (ω x + \frac{2 π}{3})$ 的周期为 $π$ ， $C_{2} ： y = s i n x$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{2}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{1}$ B、把 $C_{2}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{1}$ C、把 $C_{2}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{1}$ D、把 $C_{2}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{1}$

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二、多选题

9. 设全集 $U = R$ ，若集合 $A ⊆ B$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A ∩ B = A$ B、 $A \cup B = B$ C、 $(∁_{U} B) \subseteq (∁_{U} A)$ D、 $(A ∪ B) \subseteq A$

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10. 在下列函数中，即是偶函数又在 $(0 ， 1)$ 上单调递增的函数的有（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = 2^{| x |}$

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11. 下列几种说法中，正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $x > 0$ ，则 $l o g_{2} x + l o g_{x} 2$ 的最小值是 $2$ D、若 $x < 0$ ，则 $2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最小值为 $2 + 4 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2^{- x} + a ， x < 0 \\ 2^{x} - a ， x > 0 \end{array}$ ， $a \in R$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 在定义域上是增函数，则 $a < 1$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则 $a > 1$ D、当 $a \leq 1$ 时，若 $f (x) + f (3 x + 4) > 0$ ，则 $x \in (0 ， + ∞)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = l g (x - 2)$ 的定义域是.

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14. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{5 \cos α - \sin α} =$ .

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15. 函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在 $[5 ， 20]$ 上不单调，则实数k的取值范围为．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， 0 < x < 2 \\ f (4 - x) ， 2 < x < 4 \end{array}$ ，方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实数根，由小到大分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1} - x_{3}$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x + b (a > 1)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 1)$ ，求b的值：

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最大值与最小值的差为2，求a的值．

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18. 已知 $α$ ， β都是锐角， $t a n α = 3 ， s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(1)、 $c o s 2 α$ ；

(2)、求 $t a n (2 α - 2 β)$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数

(1)、求a值：

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性？

(3)、求不等式 $f (x^{2} - 2 x) + f (x - 6) > 0$ 的解集

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20. 如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A c o s (ω x + ϕ) + b ， 0 < ϕ < π$ ．

(1)、求A，b， $ω$ ， $ϕ$ ；

(2)、为响应国家节能减排的号召，建议室温室25℃以上才开空调，求在 $[0 ， 24]$ 内，该地适宜开空调的时间段．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + s i n (2 x - \frac{π}{6}) + c o s 2 x + a$ 的最大值为 $4$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、若函数f(x)在[ $- \frac{π}{2}$ ， m]上只有两个零点，求m的取值范围．

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22. 为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{array}{l} \frac{9}{10 - 2^{x}} ， 0 \leq x \leq 3 \\ 17 - 2^{x - 6} ， 3 < x \leq 6 + l o g_{2} 17 \end{array}$ ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用．

(1)、若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？

(2)、若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中 $0 < t \leq 3$
①求g(1)的表达式：
②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值．

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