广东省佛山市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | 2 \leq x < 3}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in {y | y 是无理数}$ ， $x^{3}$ 是无理数．则 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \notin {y | y 是无理数}$ ， $x^{3}$ 是有理数 B、 $\forall x \in {y | y 是无理数}$ ， $x^{3}$ 是有理数 C、 $\exists x \notin {y | y 是无理数}$ ， $x^{3}$ 是有理数 D、 $\exists x \in {y | y 是无理数}$ ， $x^{3}$ 是有理数

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3. 已知 $θ \in R$ ，则“ $t a n θ > 0$ ”是“点 $(s i n θ ， c o s θ)$ 在第一象限内”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（）

A、18倍 B、24倍 C、36倍 D、48倍

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5. 函数 $y = \frac{x^{2}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 甲、乙分别解关于x的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ ．甲抄错了常数b，得到解集为 $(- 6 ， 1)$ ；乙抄错了常数c，得到解集为 $(2 ， 3)$ ．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（）

A、 $(- 1 ， 6)$ B、 $(1 ， 6)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 2)$ 是偶函数，且函数 $y = f (x)$ 的图像与函数 $y = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 的图像共有n个交点： $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} =$ （）

A、0 B、n C、2n D、4n

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8. 已知 $a = l o g_{2} \sqrt{3}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = 2 l o g_{5} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 已知 $1 \leq a \leq 2$ ， $3 \leq b \leq 5$ ，则（）

A、 $a + b$ 的取值范围为 $[4 ， 7]$ B、 $b - a$ 的取值范围为 $[2 ， 3]$ C、ab的取值范围为 $[3 ， 10]$ D、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为 $[\frac{1}{3} ， \frac{2}{5}]$

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10. 在直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (x ， - 3)$ ，且 $t a n α = 3$ ，则（）

A、 $x = - 1$ B、 $s i n α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $c o s α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $t a n \frac{α}{2} > 0$

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11. 取整函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如： $f (1.2) = 1$ ， $f (- 0.9) = - 1$ ，则（）

A、 $\exists x \in R$ ， $f (2 x) > 2 f (x)$ B、 $\forall x \in R$ ， $x < f (x) + 1$ C、 $\exists x$ ， $y \in R$ ， $f (x) + f (y) > f (x + y)$ D、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (x + 0.5) = f (2 x)$

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12. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x + 2 x - 11$ 的零点为 $α$ ，函数 $g (x) = 4^{x} + 2 x - 12$ 的零点为 $β$ ，则（）

A、 $f (β) > 0$ B、 $g (α) > 0$ C、 $α \in (4 ， 5)$ D、 $α + β = 6$

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三、填空题

13. ${(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} + l o g_{27} \frac{1}{81} =$ ．

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14. 用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为弧度．

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15. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： $f (x) =$ ．
①定义域为 $R$ ；②值域为 $(- 1 ， 1)$ ；③ $f (x)$ 是奇函数．

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16. 若实数 $a ， b ， c$ 满足 $3^{a} + 3^{b} = 3^{a + b}$ ， $3^{a} + 3^{b} + 3^{c} = 3^{a + b + c}$ ，则 $c$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 5 \leq 0}$ ， $B = {x | a - 1 < x < 2 a - 1}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $A ∩ B = B$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A ∩ B ≠ ∅$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 从① $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ② $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， ③ $t a n (2 π + α) = \sqrt{3} - 2$ ，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知 $0 < α < π$ ，且满足____．

(1)、判断 $α$ 是第几象限角；

(2)、求值： $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{| x |}}$ ．

(1)、若 $f (x) = 2$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $e^{t} f (2 t) + m f (t) \geq 0$ 对于 $t \in [0 ， 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知 $f (x) = l o g_{2} | a + \frac{1}{x - 1} | + b$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值．

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用定义加以证明．

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21. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 $F = \frac{q}{x}$ ， x为道路密度，q为车辆密度， $F = f (x) = {\begin{array}{l} 100 - 45 \cdot a^{x} ， 0 < x < 40 ， \\ - \frac{7}{8} x + 120 ， 40 \leq x \leq 80 . \end{array}$ 已知当道路密度 $x = 2$ 时，交通流量 $F = 95$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若交通流量 $F > 95$ ，求道路密度x的取值范围；

(3)、求车辆密度q的最大值．

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22. 已知 $f (x) = 4 x^{2} - a x + 1$ ， $g (x) = l o g_{a} x$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、若 $\forall x \in R$ ， $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、用 $m a x {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中的最大者，设 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x > 0)$ ，讨论 $h (x)$ 零点个数．

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