2022-2023学年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算课后测验

试卷更新日期：2023-02-01 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（　）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{48}$

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2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）

A、 $3 \sqrt{3}$ 与 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{\frac{1}{3}}$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\sqrt{4 a}$ 与 $\sqrt{8 a}$

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3. 下列无理数中，与 $\sqrt{24}$ 相乘积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. $\sqrt{m + n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m - n}$

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5. 计算 $\sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ，结果是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 1)}^{2} = - 2$ B、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(- \frac{1}{2022})}^{0} = 0$

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7. 估算 $(2 \sqrt{5} + 5 \sqrt{2}) \times \sqrt{\frac{1}{5}}$ 的值应在哪两个整数之间？（）

A、6至7 B、5至6 C、4至5 D、3至4

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8. 计算 $(\sqrt{50} - \sqrt{18}) \div \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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10. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= $\{\begin{matrix} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{matrix}$ ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

A、2﹣4 $\sqrt{6}$ B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、20

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二、填空题（每空2分，共20分）

11. $\sqrt{12} \times \sqrt{3} =$ .

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12. 分母有理化： $\frac{2}{\sqrt{5}} =$ ．

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13. 计算 $\sqrt{27} - \sqrt{3}$ = ，
$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ =

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14. 如果最简二次根式 $\sqrt[a + 1]{3 + 2 b}$ 和 $\sqrt{2 a + 1}$ 是同类二次根式，则ab= ．

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15. 如图，已知阴影部分是一个正方形， $A B = 4 ， ∠ B =$ $45^{°}$ ，则此正方形的面积为

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16. 一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{12} c m ， \sqrt{27} c m$ 和 $\sqrt{48} c m$ ，则这个三角形的周长是 $cm$

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17. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为 $\sqrt{6}$ 时，则输出的值为．

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18. 在进行二次根式化简时，我们可以将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 进一步化简，如：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$

则 $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{4 n - 1} + \sqrt{4 n + 3}}$ ＝.

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19. 化简题中，有四个同学的解法如下：
① $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3 (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

② $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2} ；$

③ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b} ；$

④ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} .$

他们的解法，正确的是．（填序号）

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三、计算题（共2题，共16分）

20. 计算：

(1)、 $(\sqrt{12} + \sqrt{20}) - (\sqrt{3} - \sqrt{5})$ ；

(2)、 $(\sqrt{48} + \frac{1}{4} \sqrt{6}) + \sqrt{27}$ .

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21.

(1)、计算： $\sqrt{0.5} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{54 x y} \cdot \sqrt{\frac{y^{2}}{6 x}} \div \sqrt{x^{2} y}$ （其中 $x > 0$ ）．

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四、解答题（共4题，共34分）

22. 化简并求值：已知 $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} - 2 x + 3$ 的值．

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23. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝ $m^{2} n － m n － 3 n$ ．如：1※2 $= 1^{2} \times 2 － 1 \times 2 － 3 \times 2 = － 6$ ．求（－2）※ $\sqrt{3}$ 值．

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24. 我们知道， $（ \sqrt{3} ）^{2} = 3$ ， $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2} = 4$ ， …如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如 $3 + \sqrt{5}$ 与 $3 - \sqrt{5}$ 互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$ .

(1)、 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 分母有理化的结果是；

(2)、 $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$ 分母有理化的结果是；

(3)、 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$ 分母有理化的结果是；

(4)、利用以上知识计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2023}}$ .

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25. 我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 $(a + \sqrt{b})$ 与 $(a - \sqrt{b})$ 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．

(1)、判断 $(4 + \sqrt{2})$ 与 $(4 - \sqrt{2})$ 是否互为倒数，并说明理由；

(2)、若实数 $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ 是 $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ 的倒数，求x和y之间的关系．

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2022-2023学年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算 课后测验

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空2分，共20分）

三、计算题（共2题，共16分）

四、解答题（共4题，共34分）

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