山东省青岛市莱西市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $a (x - y) = a x - a y$ B、 $x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ C、 $(x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 分式 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值等于0，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、±1

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4. 如图，小聪在作线段 $A B$ 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $C 、 D$ ，则直线 $C D$ 即为所求．根据他的作图方法可知，四边形 $A D B C$ 一定是（）．

A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形

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5. 一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 下列说法错误的是（）

A、对角线相等的菱形是正方形 B、对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的平行四边形是矩形 D、对角线垂直且相等的四边形是正方形

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7. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（）

A、甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定 B、甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 C、甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D、甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

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8. 如图所示，顺次连接四边形 $A B C D$ 各边中点得到四边形 $E F G H$ ，使四边形 $E F G H$ 为正方形，应添加的条件分别是（）

A、 $A B ∥ C D$ 且 $A B = D C$ B、 $A B = C D$ 且 $A C ⊥ B D$ C、 $A B ∥ C D$ 且 $A C ⊥ B D$ D、 $A C = B D$ 且 $A C ⊥ B D$

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9. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， $∠ P M N = 30 °$ ，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 $∠ A M P$ 的度数为（）

A、60° B、65° C、75° D、80°

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10. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）

A、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→正方形→菱形→矩形 D、平行四边形→菱形→正方形→矩形

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{b}{a})}^{2} \div (- b^{2}) =$ ．

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12. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC＇＝.

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13. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ ，则点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ 的坐标为．

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14. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 $x$ 件，根据题意可列方程为．

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15. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为分．

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16. 如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为 $(a - 1)$ 的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 可化简为．

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三、解答题

17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度， $R t △ A B C$ 的三个顶点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (0 ， 5)$ ， $C (0 ， 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ ，得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C$ 的图形；

(2)、平移 $△ A B C$ ，使点A的对应点 $A_{2}$ 坐标为 $(2 ， - 6)$ ，请画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的图形；

(3)、若将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请直接写出旋转中心的坐标．

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18. 分解因式

(1)、 $6 x^{2} - 4 x y$

(2)、 $a^{2} (x - y) + 9 b^{2} (y - x)$

(3)、 $4 a b^{2} - 4 a^{2} b - b^{3}$

(4)、 ${(y^{2} - 1)}^{2} - 6 (y^{2} - 1) + 9$

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19. 计算

(1)、 $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \div (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$

(2)、 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$

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20. 解方程

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$

(2)、 $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{x^{2} - 4} = 1$

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21. 先化简再求值 $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} + 3 a} \div (1 - \frac{1}{a - 2})$ ，其中 $a$ 为 $- 3$ ， 0，1，2，3中的一个数．

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22. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A． $80 \leq x < 85$ ， B． $85 \leq x < 90$ ， C． $90 \leq x < 95$ ， D． $95 \leq x \leq 100$ ）
下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是： 96，84 ， 97，85，96，96，96，84 ， 90， 96
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92， 92， 94，94
【七、八年级抽取的学生宽赛成绩统计表】
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
$m$
众数
$a$
98
方差
28.6
28
八年级抽取的学生宽赛成绩能计表
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ， $m =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防洲水安全知识较好？请说明理由；

(3)、该校七、八年级共1200名学生参加了此次竞赛，若95分为优秀，请估计参加此次竞赛成绩优秀的学生人数是多少？

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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24. 2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 5 \sqrt{3}$ ， $∠ C = 30 °$ ．点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $C A$ 方向以每秒2个单位长的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向以每秒1个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $D 、 E$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $D E 、 E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是平行四边形；

(2)、四边形 $A E F D$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值；如果不能，说明理由．

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26. 如图

(1)、【问题情境】
如图1，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将Rt△ABE绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $Δ C B E^{'}$ （点 $A$ 的对应点为点 $C)$ ．延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．
试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、【解决问题】
若 $C F = 3 ， B E = 3 C F ，$ 请求出正方形 $A B C D$ 的面积；

(3)、【猜想证明】
如图2，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明．

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年级	七年级	八年级
平均数	92	92
中位数	96	$m$
众数	$a$	98
方差	28.6	28