山西省忻州市代县2022-2023学年九年级上学期期末综合评估数学试题

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若点 $(2 ， 3)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点，则此函数图象一定经过点（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(1 ， - 6)$ D、 $(- 1 ， - 6)$

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2. 萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（）

A、位似图形 B、相似三角形的判定 C、旋转 D、平行线的性质

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4. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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5. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，过点A作 $⊙ O$ 的切线 $A C$ ，连接 $B C$ ，与 $⊙ O$ 交于点D，E是 $⊙ O$ 上一点，连接 $A E ， D E$ ．若 $∠ C = 48 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $42 °$ B、 $48 °$ C、 $32 °$ D、 $38 °$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，M是边 $A D$ 的中点，N为线段 $A C$ 与 $B M$ 的交点，则 $S_{△ A M N} ： S_{△ B C N} =$ （）

A、 $1 ： 2$ B、 $2 ： 3$ C、 $1 ： 3$ D、 $1 ： 4$

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7. 如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，王阿姨决定降价销售，销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20千克，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天要想盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为（）

A、 $(6 - x) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) - 50 = 250$ B、 $(6 - x - 4) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) - 50 = 250$ C、 $(6 - x - 4) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) = 250$ D、 $(6 - x - 4) (200 + 20 x) - 50 = 250$

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9. 在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = k x^{2} + 2$ 的图象（）

A、经过第一、二、三、四象限 B、仅经过第一、二、四象限 C、仅经过第三、四象限 D、仅经过第一、二象限

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10. 【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形 $A C$ 处，则 $S_{阴影} = S_{△ A C D}$ ．
【拓展应用】如图2，以 $A B$ 为直径作半圆O，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $B C$ ，以 $O B$ 为直径作半圆P，交 $B C$ 于点D．若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π + 2$ B、 $π + 1$ C、 $2 π - 1$ D、 $2 π + 1$

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二、填空题

11. 如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是 $1 ： 5 ： 3$ ．如果A，B，C三个面分别向下放在地上，地面所受压强分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，压强的计算公式为 $P = \frac{F}{S}$ ，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的大小关系为（用小于号连接）．

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12. 如图， $△ O A B$ 与 $△ O A^{'} B^{'}$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且位似比为 $1 ： 2$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(- 2 ， - 4)$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为．

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13. 数学中，把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（ $A P > B P$ ），若线段 $A B$ 的长为 $8 c m$ ，则BP的长为 $c m$ ．

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x - 2$ ，当 $0 \leq x \leq m$ 时，函数y的最小值为 $- 3$ ，则m的值为．

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15. 如图，直线 $y = - x + 3$ 与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形 $A B C D$ ， $A B = 2 A D$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上在第一象限经过C，D两点，则k的值是．

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三、解答题

16.

(1)、如图，

△ A B C

绕点

A

逆时针旋转某个角度得到

△ A D E

（点

B

的对应点为点

D

，点

C

的对应点为点

E

）．已知

∠ D A C = 89 °

，

∠ B A E = 61 °

，求

∠ B A D

的度数．

(2)、下面是某同学解方程

x^{2} + 6 x - 16 = 0

的部分运算过程：

解：移项，得 $x^{2} + 6 x = 16$ ， …………………第一步

配方，得 $x^{2} + 6 x + 9 = 16 + 9$ ， ………………第二步

即 ${(x + 3)}^{2} = 25$ ， ………………………………第三步

两边开平方，得 $x + 3 = 5$ ， ……………………第四步

…

①该同学的解答从第 ▲ 步开始出错；

②请写出正确的解答过程．

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17. 如图，已知线段AB， $∠ A B M = 50 °$ 及 $∠ α = 30 °$ ．

(1)、求作线段CE，使得点C在射线BM上，且 $∠ C A B = ∠ α$ ，点E在线段AB上，且 $E C = E B$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，求证： $A C^{2} = A E \cdot A B$ ．

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18. 为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起强国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．

(1)、小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是．

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $∠ A O B = 90 °$ ， $A B ∥ x$ 轴， $O B = 4$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点B，将 $△ A O B$ 绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若 $A B$ 的对应线段 $C B$ 恰好经过点O．

(1)、求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式．

(2)、小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上．请你证明这个结论的正确性．

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20. 阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

已知：如图1， $⊙ O$ 的两弦 $A B ， C D$ 相交于点P．

求证： $A P \cdot B P = C P \cdot D P$ ．

证明：

如图1，连接 $A C ， B D$ ．

∵ $∠ C = ∠ B$ ， $∠ A = ∠ D$ ．

∴ $△ A P C ∽ △ D P B$ ，（根据）

∴ $\frac{A P}{D P} =$ @，

∴ $A P \cdot B P = C P \cdot D P$ ，

∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

任务：

(1)、请将上述证明过程补充完整．

根据：；@：．

(2)、小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是

⊙ O

的弦，P是

A B

上一点，

A B = 10 c m

，

P A = 4 c m

，

O P = 5 c m

，求

⊙ O

的半径．

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21. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为 $(2 ， 1)$ ，点B的坐标为 $(m ， - 4)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的解析式．

(2)、结合图象，请直接写出不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集．

(3)、在y轴上是否存在一点P，使得 $△ P D C$ 与 $△ C D O$ 相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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22. 综合与实践
在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，三角板 $E F G$ 的直角顶点E在矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上， $∠ E F G = 30 °$ ，将 $△ E F G$ 绕点E旋转．

(1)、如图1，当直角边EF经过点B， $E G$ 的延长线经过点C时．
①求证： $△ A B E ∽ △ D E C$ ．
②求 $A E$ 的长．

(2)、如图2，旋转 $△ E F G$ ，若点F落在 $A B$ 的延长线上， $E G$ 与 $C D$ 交于点H，且H为 $D C$ 的中点， $E G$ 的延长线与 $B C$ 的延长线交于点M，连接 $M F$ ，求 $∠ G F M$ 的度数．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $B C$ ．

(1)、求抛物线和直线 $B C$ 的函数解析式．

(2)、 $D$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，求 $△ B D C$ 面积的最大值及此时点 $D$ 的坐标．

(3)、在抛物线对称轴上是否存在一点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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