辽宁省大连市沙河口区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示四个图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）

A、（2，3） B、（-2，3） C、（-3，-2） D、（-2，-3）

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3. 下列事件中，必然事件是（）

A、三角形内角和为 $180 °$ B、打开电视，正在播放广告 C、从一副扑克牌中抽到红桃K D、抛掷一枚硬币，正面朝上

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4. 如图，点A，B，C在⊙O上， $O A ⊥ O B$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $50 °$

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5. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移4个单位，再向下平移10个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　）

A、 $y = (x + 4)^{2} + 10$ B、 $y = x^{2} - 10$ C、 $y = x^{2} + 4$ D、 $y = (x + 4)^{2} - 10$

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6. $⊙ O$ 的半径为6，点P的 $⊙ O$ 内，则OP的长可以是（）

A、3 B、6 C、9 D、13

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7. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（）

A、 $5 π$ B、 $10 π$ C、 $20 π$ D、 $25 π$

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8. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E F = 5$ ，则 $D E$ 的长度是（）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ，则 $s i n A$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{5}$

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10. 如表中列出的是一个二次函数的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值：
$x$
…
－3
－1
1
3
5
…
$y$
…
2
－4
－6
－4
2
…
下列各选项中，正确的是（）

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与 $x$ 轴无交点 C、这个函数的最大值是5 D、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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二、填空题

11. 计算：sin30°= ．

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12. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数
50
100
150
200
250
300
500
投中次数
28
60
78
104
123
152
251
频率
0.560
0.600
0.520
0.520
0.492
0.507
0.502
则这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．

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13. 如图，要使 $△ P Q R ∽ △ P N M$ ，则需添加一个适当的条件是（添一个即可）．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针方向旋转20°得到 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点F，则 $∠ A F E =$ °．

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15. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 cm．

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16. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + b x$ 来表示，已知 $O K = 8$ 米．若借助横梁 $S T (S T ∥ O K)$ 建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁 $S T$ 的长度是米．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ．

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18. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．

(1)、随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；

(2)、随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出的小球标号相同的概率．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6， $△ A D E$ 旋转一定角度后得到 $△ A B E^{'}$ ， $D E = 2$ ．

(1)、旋转中心是点，旋转角是 $°$ ；

(2)、在图中连接 $E E^{'}$ ，并求出 $E E^{'}$ 的长．

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20. 如图， $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C$ ， $∠ B O C = 100 °$ ．

(1)、求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、求 $∠ A D C$ 的度数．

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21. 某种商品每件的进价为20元，在某段时间内若以每件 $x$ 元出售，可卖出 $(100 - x)$ 件，获得的利润是 $y$ 元．

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

(2)、应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？

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22. 如图，小明在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼 $C D$ 的高度进行测量，从小明家阳台A测得点D的仰角为 $37 °$ ，测得点C的俯角为 $45 °$ ，已知观测点到地面的高度 $A B = 33 m$ ．请你利用小明测量的数据，求楼 $C D$ 的高度（结果取整数）．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 21.41$ ）

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，C为切点， $O D ⊥ A B ， O D$ 与 $A C$ 相交于点E．

(1)、如图1，求证 $D C = D E$ ；

(2)、如图2， $A D$ 与 $⊙ O$ 相交于点F，若 $⊙ O$ 的半径为3， $O E = 1$ ，求 $A F$ 的长．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， E是AC上一点， $D E ⊥ A B$ ，垂足为D， $A D = 4$ ．

(1)、如图1，求 $A E$ ， $D E$ 的长；

(2)、如图2，点P是边 $A C$ 上一动点（点P不与点A，C重合），连接 $P B$ ， $P D$ ，设 $A P = x$ ， $△ P D B$ 与四边形DECB重叠部分的面积为S．求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

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25. 综合与实践
在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 4$ ，点D在AB边上，点E在AC边上， $D E ∥ B C$ ，点F是 $B D$ 的中点，连接 $C F$ ， $E F$ ．

(1)、如图1，当点D，E与点A重合时，求 $C F$ 的长；

(2)、如图2，探索 $E F$ 与 $C F$ 的数量关系，并证明；

(3)、如图3，过点F作 $A B$ 的垂线与边AC相交于点P，若 $C P = D E$ ，求 $E F$ 的长．

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26. 综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $B C$ ，点P在第一象限的抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)、求点B，点C的坐标，直接写出直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如图1，抛物线的顶点为D，过点D作x轴垂线，交 $B C$ 于点E，过点P作 $P Q ∥ D E$ 交 $B C$ 于点Q，过点Q作 $Q F ⊥ y$ 轴于点F，设 $P Q$ 的长为 $d_{1}$ ， $F Q$ 的长为 $d_{2}$ ， $d = d_{1} + d_{2}$ ，当d取最大值时，试判断四边形 $D E Q P$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图2，点H在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使 $△ C P H$ 是以 $C H$ 为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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投篮次数	50	100	150	200	250	300	500
投中次数	28	60	78	104	123	152	251
频率	0.560	0.600	0.520	0.520	0.492	0.507	0.502

$x$	…	－3	－1	1	3	5	…
$y$	…	2	－4	－6	－4	2	…