吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若函数 $y = (m - 2) x^{2} + 5 x + 6$ 是二次函数，则有（）

A、 $m \neq 0$ B、 $m \neq 2$ C、 $x \neq 0$ D、 $x \neq 2$

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、直径是圆中最长的弦 B、三个点确定一个圆 C、平分弦的直径垂直于弦 D、相等的圆心角所对的弦相等

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3. 已知一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ ，下列判断正确的是（）

A、该方程有两个相等的实数根 B、该方程有两个不相等的实数根 C、该方程无实数根 D、该方程根的情况无法确定

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{2}{3}$ ，且 $△ A D E$ 的面积为4，则四边形 $B C E D$ 的面积为（）

A、5 B、8 C、9 D、12

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5. 如图，木杆 $A B$ 斜靠在墙壁上， $P$ 是 $A B$ 的中点，当木杆的上端 $A$ 沿墙壁 $N O$ 竖直下滑时，木杆的底端 $B$ 也随之沿着射线 $O M$ 方向滑动，则下滑过程中 $O P$ 的长度变化情况是（）

A、逐渐变大 B、不断变小 C、不变 D、先变大再变小

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6. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ， $A B = 10$ ，则 $B C$ 的（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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7. 如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB＝2，则线段BQ的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、1

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8. 如图，已知点 $A (\sqrt{3} ， 2)$ ， $B (0 ， 1)$ ，射线 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，则过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 中 $a$ 的值为（）

A、 $a = \frac{1}{2}$ B、 $a = 2$ C、 $a = 3$ D、 $a = - \frac{1}{3}$

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二、填空题

9. 已知二次函数y= $\frac{1}{2}$ x²的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为．

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 53 °$ ，以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $D$ ． $E$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $\overset{⌢}{C E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $O E$ ．过点 $E$ 作 $E F ⊥ O E$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $F$ ，则 $∠ F$ 为．

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11. 随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为

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12. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O为位似中心，位似比为 $2 ： 3$ ．若 $△ A B C$ 的周长为6，则 $△ D E F$ 的周长是．

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13. 三个正方形方格和扇形 $E O F$ 的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形 $E O F$ 的面积为．

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14. 已知点 $A (0 ， 2)$ 与点 $B (2 ， 3)$ 的坐标，抛物线 $y = a x^{2} - 6 a x + 9 a + 1$ 与线段 $A B$ 有交点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 解方程 $x^{2} + 2 x - 13 = 0$

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16. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $A B = 8$ ， $C D = 6$ ，求 $O E$ 的长．

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17. 图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：

(1)、图①中， $A B$ 的长为．

(2)、在图①中 $△ A B C$ 的BC边上确定一点P，使点P到 $△ A B C$ 三个顶点距离相等．

(3)、在图②中，在 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上确定一点M，使得 $A M = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 经过点 $(2 ， 3)$ 、 $(- 1 ， - 3)$

(1)、这条抛物线所对应的函数表达式．

(2)、这条抛物线与 $x$ 轴的交点坐标．

(3)、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的取值范围为．

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19. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A B C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ E D B = 70 °$ ，则弧 $A D$ 的长为．

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20. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱 $B C = 20 c m$ ，灯臂 $C D = 34 c m$ ，灯罩 $D E = 22 c m$ ， $B C ⊥ A B$ ， CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当 $∠ D C B = 140 °$ ，且 $E D ∥ A B$ 时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值： $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 1.19$ ）

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21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件9元，在销售过程中发现，每天的销售量 $y$ （件）与每件售价 $x$ （元）之间存在一次函数关系 $y = - 6 x + 150$ （其中 $9 \leq x \leq 16$ ，且 $x$ 为整数）．设该商店销售这种消毒用品每天获利 $w$ （元）．

(1)、求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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22. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：
已知线段 $B C = 6$ ，使用作图工具作 $∠ B A C = 30 °$ ．
尝试操作后思考：这样的点 $A$ 唯一吗？点 $A$ 的位置有什么特征？你有什么感悟？
“神州”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$ 的位置不唯一，它在以 $B C$ 为弦的圆弧上（点 $B$ 、 $C$ 除外），…小乐同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

(1)、小乐同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为；
② $△ A B C$ 面积的最大值为；

(2)、经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为 $A^{'}$ ，请你利用图1证明 $∠ B A^{'} C < 30 °$ ．

(3)、请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $A B C D$ 的边长 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，点 $P$ 在直线 $C D$ 的右侧，且 $∠ D P C = 60 °$ ，则线段 $P B$ 长的最大值为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A C$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $C$ 匀速运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．过点 $P$ 作 $A B$ 的垂线交 $A B$ 于点 $M$ ．

(1)、AC= ．

(2)、求 $P M$ 的长．（用含有 $t$ 的代数式表示）

(3)、若将点 $P$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 $90 °$ 于点 $N$ ．
①求 $B N$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）
②在点 $P$ 运动的同时，做点 $B$ 关于点 $N$ 的对称点 $Q$ ，连结 $P Q$ ，当 $△ A O P$ 为等腰三角形时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 b x - 3$ 顶点 $C$ 的坐标为 $(- 1 ， - 4)$ ，抛物线上不重合的两点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别为 $2 m + 1$ ， $m + 2$ ．

(1)、b=

(2)、若 $A$ 、 $B$ 两点的纵坐标相等，求m的值．

(3)、当点 $A$ 在对称轴左侧时，将抛物线上 $A$ 、 $B$ 两点之间（含 $A$ 、 $B$ 两点）的图象记为 $W$ ，设图象 $W$ 的最高点与最低点的纵坐标之差为 $d$ ，求 $d$ 与 $m$ 之间的函数关系式．

(4)、当点 $B$ 在点 $A$ 的右侧时，过 $A$ 、 $B$ 两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点 $M$ 、 $N$ ．若点 $M$ 、 $N$ 、 $C$ 中任意两点不重合且其中一点到另两点距离相等，直接写出 $m$ 的值．

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