北京市西城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 二次函数y＝（x－2）²＋3的最小值是（）

A、3 B、2 C、－2 D、－3

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2. 中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列事件中是随机事件的是（）

A、明天太阳从东方升起 B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C、平面内不共线的三点确定一个圆 D、任意画一个三角形，其内角和是 $540 °$

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4. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $P$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ A P D = 80 °$ ，则 $∠ B$ 的大小是（）

A、35° B、45° C、60° D、70°

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5. 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 通过变换可以得到抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ ，以下变换过程正确的是（）

A、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

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6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请 $x$ 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）

A、 $2 x = 15$ B、 $x (x + 1) = 15$ C、 $x (x - 1) = 15$ D、 $\frac{x (x - 1)}{2} = 15$

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7. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $△ C D E$ ，当点 $A$ 的对应点 $D$ 落在 $B C$ 上时，连接 $B E$ ，则 $∠ B E D$ 的度数是（）

A、30° B、45° C、55° D、75°

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8. 下表记录了二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 中两个变量 $x$ 与 $y$ 的5组对应值，其中 $x_{1} < x_{2} < 1$ ．
$x$
…
-5
$x_{1}$
$x_{2}$
1
3
…
$y$
…
$m$
0
2
0
$m$
…
根据表中信息，当 $- \frac{5}{2} < x < 0$ 时，直线 $y = k$ 与该二次函数图象有两个公共点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{7}{6} < k < 2$ B、 $\frac{7}{6} < k \leq 2$ C、 $2 < k < \frac{8}{3}$ D、 $2 < k \leq \frac{8}{3}$

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二、填空题

9. 一元二次方程x²﹣16=0的解是．

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10. 已知 $⊙ O$ 的半径为5，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为8，则点 $P$ 在 $⊙ O$ （填“内”“上”或“外”）．

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为．

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12. 圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是．

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13. 点 $M (3 ， m)$ 是抛物线 $y = x^{2} - x$ 上一点，则 $m$ 的值是，点 $M$ 关于原点对称的点的坐标是．

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14. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以点 $A (\sqrt{2} ， 0)$ 为圆心，1为半径画圆，将 $⊙ A$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $⊙ A^{'}$ ，使得 $⊙ A^{'}$ 与 $y$ 轴相切，则 $α$ 的度数是．

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $A B ⊥ O C$ ， $P$ 为圆上一动点， $M$ 为 $A P$ 的中点，连接 $C M$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2，则 $C M$ 长的最大值是．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

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18. 已知：点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $∠ B A C = 45 °$ ．
求作：直线 $l$ ，使其过点 $C$ ，并与 $⊙ O$ 相切．
作法：①连接 $O C$ ；
②分别以点 $B$ ，点 $C$ 为圆心， $O C$ 长为半径作弧，两弧交于 $⊙ O$ 外一点 $D$ ；
③作直线 $C D$ ．
直线 $C D$ 就是所求作直线 $l$ ．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $O B$ ， $B D$ ，
∵ $O B = O C = B D = C D$ ，
∴四边形 $O B D C$ 是菱形，
∵点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $∠ B A C = 45 °$ ，
∴ $∠ B O C =$ ▲ °（）（填推理的依据）．
∴四边形 $O B D C$ 是正方形，
∴ $∠ O C D = 90 °$ ，即 $O C ⊥ C D$ ，
∵ $O C$ 为 $⊙ O$ 半径，
∴直线 $C D$ 为 $⊙ O$ 的切线（）（填推理的依据）．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、将 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并写出它的顶点坐标；

(2)、在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

(3)、当 $- 1 < x < 2$ 时，结合图象，直接写出函数值 $y$ 的取值范围．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，点 $C$ 是 $A B$ 的中点，连接 $O C$ 并延长交劣弧 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $O B$ ， $D B$ ，若 $A B = 4$ ， $C D = 1$ ，求 $△ B O D$ 的面积．

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21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

(1)、根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，其中红球的个数是；

(2)、如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 是对角线，将点 $B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转60°得到点 $E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ， $C E$ ．

(1)、求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、若 $△ A C D$ 是等边三角形，且 $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 3$ ， $B D = 5$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 9 = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、设此方程的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $2 x_{1} = x_{2} + 5$ ，求 $m$ 的值．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $O$ 是 $A C$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作圆，使 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $D$ ，与 $A C$ 相交于点 $E$ ．过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ ，交 $E D$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、若 $A B = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、连接 $B O$ ，求证：四边形 $B F E O$ 是平行四边形．

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25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处起跳经空中飞行后落在着陆坡 $B C$ 上的点 $P$ 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里 $O A$ 表示起跳点 $A$ 到地面 $O B$ 的距离， $O C$ 表示着陆坡 $B C$ 的高度， $O B$ 表示着陆坡底端 $B$ 到点 $O$ 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 $y$ （单位：m）与水平距离 $x$ （单位：m）近似满足函数关系： $y = - \frac{1}{16} x^{2} + b x + c$ ，已知 $O A = 70 m$ ， $O C = 60 m$ ，落点 $P$ 的水平距离是40m，竖直高度是30m．

(1)、点 $A$ 的坐标是，点 $P$ 的坐标是；

(2)、求满足的函数关系 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + b x + c$ ；

(3)、运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡 $B C$ 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = t$ ，且 $3 a + 2 b + c = 0$ ．

(1)、当 $c = 0$ 时，求 $t$ 的值；

(2)、点 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(1 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 在抛物线上，若 $a > c > 0$ ，判断 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $y_{3}$ 的大小关系，并说明理由．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A P B = 45 °$ ，连接 $C P$ ，将线段 $C P$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°得到线段 $C Q$ ，连接 $A Q$ ．

(1)、依题意，补全图形，并证明： $A Q = B P$ ；

(2)、求 $∠ Q A P$ 的度数；

(3)、若 $N$ 为线段 $A B$ 的中点，连接 $N P$ ，请用等式表示线段 $N P$ 与 $C P$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 给定图形 $W$ 和点 $P$ ， $Q$ ，若图形 $W$ 上存在两个不重合的点 $M$ ， $N$ ，使得点 $P$ 关于点 $M$ 的对称点与点 $Q$ 关于点 $N$ 的对称点重合，则称点 $P$ 与点 $Q$ 关于图形 $W$ 双对合.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 1 ， - 2)$ ， $B (5 ， - 2)$ ， $C (- 1 ， 4)$ ．

(1)、在点 $D (- 4 ， 0)$ ， $E (2 ， 2)$ ， $F (6 ， 0)$ 中，与点 $O$ 关于线段 $A B$ 双对合的点是；

(2)、点 $K$ 是 $x$ 轴上一动点， $⊙ K$ 的直径为1．
①若点 $A$ 与点 $T (0 ， t)$ 关于 $⊙ K$ 双对合，求 $t$ 的取值范围；
②当点 $K$ 运动时，若 $△ A B C$ 上存在一点与 $⊙ K$ 上任意一点关于 $⊙ K$ 双对合，直接写出点 $K$ 的横坐标 $k$ 的取值范围．

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$x$	…	-5	$x_{1}$	$x_{2}$	1	3	…
$y$	…	$m$	0	2	0	$m$	…