北京市石景山区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-02-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 5的算术平方根是（）

A、±5 B、25 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 使得分式 $\frac{2 m}{m + 3}$ 值为零的 $m$ 的值是（）

A、 $m = 0$ B、 $m = 2$ C、 $m \neq - 3$ D、 $m \neq 3$

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4. 利用直角三角板，作 $△ A B C$ 的高，下列作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{13}$ ，则底边上的高为（）

A、12 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、18

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6. 如图，数轴上 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 四点中，与 $2 - \sqrt{5}$ 对应的点距离最近的是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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7. 下列各式中，运算正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} = \frac{2}{3 x}$ B、 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{2 y^{2}}{x} \cdot \frac{x}{4 y^{6}} = \frac{1}{2 y^{4}}$ D、 $\frac{2}{3 x y} \div \frac{y}{2 x} = \frac{1}{3 y^{2}}$

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8. 如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 $O A$ ， $O B$ 组成，两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 点转动． $C$ 点固定， $O C = C D = D E$ ，点 $D$ ， $E$ 可在槽中滑动．如图2，若 $∠ B D E = 84 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $68 °$ C、 $66 °$ D、 $70 °$

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二、填空题

9. 要使式子 $\sqrt{2 x - 3}$ 有意义，则 $x$ 可取的一个数是．

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10. 如果等腰三角形的一个角的度数为 $80 °$ ，那么其余的两个角的度数是．

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11. 若 $| x - 5 | + \sqrt{y + 3} = 0$ ，则 $x + y =$ ．

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12. 依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．
①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品；
②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；
③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；
④小明打开电视，正在播放广告；
必然事件；不可能事件；随机事件．

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13. 下面是代号分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形．

(1)、用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；

(2)、用力转动转盘（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是 $\frac{1}{3}$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $∠ C = 55 °$ ，点 $E$ 为 $B A$ 延长线上一点，点 $F$ 为 $B C$ 边上一点，若 $∠ E = 30 °$ ，则 $∠ C F E$ 的度数为．

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15. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ B C$ 于 $E$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 9$ ，则 $D E$ 的长为．

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三、解答题

16. 下面是大山同学计算 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3 x} - \frac{x - 3}{x + 3}$ 的过程：
$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3 x} - \frac{x - 3}{x + 3}$
$= \frac{x^{2}}{x (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} \dots [1]$
$= \frac{x^{2}}{x (x + 3)} - \frac{x (x - 3)}{x (x + 3)} \dots [2]$
$= \frac{x^{2} - x (x - 3)}{x (x + 3)} \dots [3]$
$= \frac{m}{x (x + 3)} \dots [4]$

(1)、运算步骤 $[2]$ 为通分，其依据是；

(2)、运算结果的分子 $m$ 应是代数式．

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17. 计算： $\sqrt{27} - \sqrt{24} \div \sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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18. 计算： $(\frac{x - 4}{x - 1} + x) \div \frac{x - 2}{x - 1}$ ．

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19. 解方程： $\frac{x}{x - 2} + \frac{3 - x}{2 - x} = 1$ ．

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20. 已知 $x = 3 y$ ，求代数式 $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \times \frac{y}{x + y}$ 的值．

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21. 已知： $△ A B C$ ．
求作：点 $P$ ，使得点 $P$ 在 $A C$ 上，且 $P A = P B$ ．
作法：
①分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的同样长为半径作弧，两弧分别交于 $M$ ， $N$ ；
②作直线 $M N$ ，与 $A C$ 交于 $P$ 点．
点 $P$ 为所求作的点．
根据上述作图过程

(1)、请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $A M$ ， $B M$ ， $A N$ ， $B N$ ．
$∵ A M =$ ， $A N = B N$ ，
$∴ M$ ， $N$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上．即 $M N$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线．
$∵$ 点 $P$ 在直线 $M N$ 上，
$∴ P A = P B ($ $)$ （填写推理的依据）．

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22. 已知：如图，点 $B$ 是线段 $A C$ 上一点， $A D ∥ B E$ ， $A B = B E$ ， $∠ D = ∠ C$ ．求证： $B D = E C$ ．

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23. 如图，将线段 $C D$ 放在单位长为1的小正方形网格内，点 $A$ ， $B$ 均落在格点上．

(1)、按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法） $：$
①请在线段 $C D$ 上画出点 $P$ ，使得 $P A + A B$ 的和最小；
②请在线段 $C D$ 上画出点 $Q$ ，使得 $Q A + Q B$ 的和最小；

(2)、请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．
① $P A + A B$ 的和最小的依据是；
② $Q A + Q B =$ （直接写出答案）．

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24. 学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．

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25. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x + a}{x - 1} + \frac{x - 5}{x - 1} = 2$ 的解为正数，求正整数 $a$ 的值．

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26. 已知：如图， $A$ ， $B$ ， $D$ 三点在同一直线上， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．

(1)、求证： $B E = A D$ ， $B E ⊥ A D$ ；

(2)、已知 $B D = 2 A B$ ， $C E = \sqrt{13}$ ，求 $A B$ 的长．

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27. 将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题： $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$
$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$
$\frac{1}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{1}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$
$\dots$

(1)、； $\frac{1}{x^{2} + x}$ = $\frac{1}{（）}$ - $\frac{1}{（）}$

(2)、计算： $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{1}{x^{2} + 12 x + 35}$ ．

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28. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，点 $B$ 关于 $A C$ 边的对称点为 $D$ ，连接 $C D$ ，过点 $A$ 作 $A E ∥ C D$ 且 $A E = C D$ ，连接 $B D$ 、 $D E$

(1)、依题意补全图形；

(2)、判断 $A B$ 和 $D E$ 的数量关系并证明；

(3)、平面内有一点 $M$ ，使得 $D M = D C$ ， $E M = E B$ ，求 $∠ C D M$ 的度数．

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