广西河池市八校2021-2022学年高二下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-01-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = 2 x - s i n x$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是（）

A、增函数 B、减函数 C、先增后减 D、不确定

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2. 函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数可表示为 ${y^{'} |}_{x = x_{0}}$ ，即（）．

A、 $f^{'} (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ B、 $f^{'} (x_{0}) = \underset{Δ x \to 0}{l i m} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})]$ C、 $f^{'} (x_{0}) = \underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ D、 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$

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3. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2 n - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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4. 曲线 $y = s i n x$ 在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角是（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知 $f (x) = \frac{3 x}{e^{x}}$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增 B、在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减 C、有极大值 $\frac{3}{e}$ ，无极小值 D、有极小值3，无极大值

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6. 已知函数f（x）=x﹣（e﹣1）lnx，则不等式f（ex）＜1的解集为（　　）

A、（0，1） B、（1，+∞） C、（0，e） D、（e，+∞）

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7. 已知函数f(x)的导函数 $f^{'} (x)$ ＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 观察下列各式：
$a + b = 1 ， a^{2} + b^{2} = 3 ， a^{3} + b^{3} = 4 ， a^{4} + b^{4} = 7 ， a^{5} + b^{5} = 11$ ， …，
照此规律，则 $a^{10} + b^{10}$ 的值为（）

A、123 B、132 C、76 D、28

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9. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) + x g (x) = x^{2} - 1 ，$ 且 $f (1) = 1$ ，则 $f^{'} (1) + g^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + ⋯ + n^{2} = \frac{n^{2} + n^{4}}{2} (n \in N^{*})$ ，则当 $n = k + 1$ 时，等式左边应该在 $n = k$ 的基础上加上（）

A、 $k^{2} + 1$ B、 $(k + 1)^{2}$ C、 $(k + 2)^{2}$ D、 $(k^{2} + 1) + (k^{2} + 2) + ⋯ + (k + 1)^{2}$

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11. 平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知 $x_{1}^{2} - \ln x_{1} - y_{1} = 0 ， x_{2} - y_{2} - 2 = 0$ ，则 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若对任意实数 $x$ ，有 $f (x) > f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + 2021$ 为奇函数，则不等式 $f (x) + 2021 e^{x} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 用反证法证明：存在 $x ∈ R$ ， $c o s x \geq 1$ ，应先假设：.

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14. 若函数 $f (x) = 3 x - x^{3}$ 在区间 $(a - 1 ， a)$ 上有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 用数学归纳法证明n³＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)³＋5(k＋1)应变形为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ，给出以下命题：
①若函数 $y = f (x) + 3 b x$ 不存在单调递减区间，则实数 $b$ 的取值范围是 $(1 ， + \infty)$ ；
②过点 $M (0 ， 2)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有三条；
③ $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 成中心对称；
④方程 $f (x) = \frac{2}{2 - x}$ 的所有实根的和为16.
其中真命题的序号是.

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三、解答题

17. 已知 $x > y > 0 ，$ 用分析法证明： $\sqrt{x y} (2 - \sqrt{x y}) \leq 1$ .

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18. 已知函数 $f (x) = e^{- x} (x^{2} - a)$ ， $x = - 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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19. 已知函 $f (x) = a^{x} + \frac{x}{x - 1} (0 < a < 1)$ ．

(1)、用导数法证明 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为减函数；

(2)、用反证法证明方程 $f (x) = 0$ 没有负数根．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ．

(1)、当 $x \in (0 ， 1)$ 时，函数 $f (x)$ 的图像上任意一点处的切线斜率为k，若 $k \geq - 1$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 过点 $Q (- 1 ， f (- 1))$ 的切线方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) \ln x - \frac{1}{2} (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = c o s x - \frac{1}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上存在最大值和最小值．

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