2023年中考数学一轮复习-全等三角形八大模型汇总（通用）-在线组卷题库

1. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，AB＝DE，BF＝EC，求证：∠A＝∠D.

查看试题解析
2. 已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE=AC，BE=DC，求证：∠E=∠C．

查看试题解析
3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点O，AO的延长线交 $B C$ 于点D， $O B = O C$ .求证： $B D = C D$ .

查看试题解析
4. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别在边AC、AB上，且 $∠ A B D = ∠ A C E$ ， BD与CE相交于点O.求证： $O B = O C$ .

查看试题解析
5. 如图，已知 $AD$ ， $BC$ 相交于点 $O$ ，且 $AD = BC$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ .

(1)、求证： $△ ABC$ ≌ $△ BAD$ .

(2)、若 $∠ AOC = 70 °$ ，求 $∠ OAB$ 的度数.

查看试题解析

6. 如图，点B，E，C，F在同一直线上， $A B ∥ D E$ ， $∠ A C B = ∠ F$ ， $A C = D F$ ．线段 $B E$ 与 $C F$ 有什么数量关系？请说明理由．

查看试题解析
7. 如图，点A，F，C，D在同一直线上， $A B = D E ， A B ∥ D E$ ，请你再添加一个条件，使得 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，并证明．

查看试题解析
8. 已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B=4D，BF=DE，求证：AF=CE．

查看试题解析
9. 如图，点 $E$ ， $F$ 在 $C D$ 上，且 $∠ A E C = ∠ B F D = 90 °$ ， $A C = B D$ ， $C F = D E$ ．

(1)、求证： $Rt Δ AEC ≅ Rt Δ BFD$ ．

(2)、连结 $A F$ ，若 $A C = 5$ ， $A E = 3$ ， $C F = 1$ ，求 $A F$ 的长度．

查看试题解析

10. 如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.

查看试题解析
11. 如图， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， M是 $B C$ 的中点， $D M$ 平分 $∠ A D C$ ，且 $∠ A D C = 110 °$ ，求 $∠ M A B$ 的度数

查看试题解析
12. 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

查看试题解析
13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A D = ∠ D A C$ ， $D F ⊥ A B$ ， $D M ⊥ A C$ ， $A F = 10 c m$ ， $A C = 14 c m$ ，动点E以 $2 c m / s$ 的速度从A点向F点运动，动点G以 $1 c m / s$ 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

(1)、求证： $A F = A M$ ；

(2)、当t取何值时， $△ D F E$ 与 $△ D M G$ 全等．

查看试题解析
14. 综合与实践：
问题情境：已知 $O M$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，P是射线 $O M$ 上的一点，点C，D分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上，连接 $P C ， P D$ ．

(1)、初步探究：如图1，当 $P C ⊥ O A$ ， $P D ⊥ O B$ 时， $P C$ 与 $P D$ 的数量关系是；

(2)、深入探究：如图2，点C，D分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上运动，且 $∠ A O B = 90 °$ ，当 $∠ C P D = 90 °$ 时， $P C$ 与 $P D$ 在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；

(3)、拓展应用：如图3，如果点C在射线 $O A$ 上运动，且 $∠ A O B = 90 °$ ，当 $∠ C P D = 90 °$ 时，点D落在了射线 $O B$ 的反向延长线上，若点P到 $O B$ 的距离为3， $O D = 1$ ，求 $O C$ 的长（直接写出答案）．

查看试题解析

15. 如图，在 $△ A B C$ 中以 $A B 、 A C$ 为边分别作正方形 $A D E B$ 、 $A C G F$ ，连接 $D C 、 B F$ ．证明： $C D = B F$ ．

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中，以AB为边作等边 $△ A B D$ ，以AC为边作等边 $△ A C E$ ，连接 $D E$ ，求证： $D E = B C$ ．

查看试题解析
17. 如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $△ A B C$ 外一点， $A D ⊥ B D$ ， $B D$ 交 $A C$ 于点E，F为 $B D$ 上一点， $∠ B C F = ∠ A C D$ ，过点F作 $F G ⊥ C F$ 交 $C B$ 于点G.

(1)、求证： $∠ D A C = ∠ F B C$ ；

(2)、求证： $△ C D F$ 是等腰直角三角形；

(3)、若 $A D = C D$ ，求 $∠ A B D$ 的度数.

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 中， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = α$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ．

(1)、如图1当 $α = 90 °$ 时．求证：
$① △ A C E$ ≌ $△ B C D$ ；
$② A E ⊥ B D$ ；

(2)、如图2当 $α = 60 °$ 时，直接写出 $∠ A F B$ 的度数为；

(3)、如图3，直接写出 $∠ A F D$ 的度数为 $($ 用含 $α$ 的式子表示 $)$ ．

查看试题解析
19. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．

(1)、求证：△BOC≌△ADC；

(2)、当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)、探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

查看试题解析

20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线， $C E ⊥ A D$ 于点E，于点E， $B F ⊥ A D$ 于点F，交AD的延长线于点F，求证： $B F = C E$ ．

查看试题解析
21. 如图 $1$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．
求证： $A B + A C > 2 A D$ ．

请将下面的推理过程补充完整：

证明：如图 $2$ ，延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．

∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，

∴ $B D = C D$ ．

在 $△ A D C$ 和 $△ E D B$ 中，

${\begin{array}{l} A D = E D \\ ∠ A D C = ∠ E D B \\ C D = B D \end{array}$ ，

∴ $△ A D C ≌ △ E D B$ （）．

∴ ▲ （全等三角形的对应边相等）．

∴在 $△ A B E$ 中， $A B + B E > A E$ （），

∴ $A B + A C > A D + D E$ ．

即 $A B + A C > 2 A D$ ．

查看试题解析
22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线， $D G ⊥ C E$ 于 G， $C D = A E$ ．

(1)、求证： $C G = E G$ ；

(2)、已知 $B D = 6 ， C D = 5$ ，求 $Δ C D G$ 面积．

查看试题解析
23.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

(2)、【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．

(3)、【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．

查看试题解析

24. 如图，点E在 $A B$ 上， $A D ⊥ A B$ 于点A， $B C ⊥ A B$ 于点B， $A E = B C$ ， $A B = A D + B C$ ．

(1)、说明 $D E = C E$ 的理由；

(2)、求 $∠ E D C$ 的度数．

查看试题解析
25. 如图， $A B ⊥ B C$ ，射线 $C M ⊥ B C$ ，且 $B C = 4$ ，点 $P$ 是线段 $B C ($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ 上的动点，过点 $P$ 作 $D P ⊥ A P$ 交射线 $C M$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ .

(1)、如图1，若 $A B = 1$ ， $B P = 3$ ，求 $C D$ 的长.

(2)、如图2，若 $D P$ 平分 $∠ A D C$ ，
$①$ 试猜测 $P B$ 和 $P C$ 的数量关系，并说明理由；
$②$ 若 $△ A D P$ 的面积为5，求四边形 $A B C D$ 的面积.

(3)、如图3，
①已知点 $E$ 是网格中的格点，若三角形 $A D E$ 是以 $A D$ 为底边的等腰三角形，那么这样的 $E$ 点共有 ▲ 个；
②在网格中找出一个点 $F$ ，使得点 $F$ 到点 $A$ ， $D$ 和点 $B$ ， $C$ 的距离分别相等，请在网格中标注点 $F . ($ 保留作图痕迹 $)$

查看试题解析
26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 40 °$ ，点D是线段 $B C$ 上任意一点，连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点E．

(1)、若 $∠ B D A = 115 °$ ，求 $∠ B A D$ 和 $∠ D E C$ 的度数；

(2)、若 $D C = A B$ ，求证： $△ A B D ≌ △ D C E$ ．

查看试题解析
27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．

(1)、求证：△ADC≌△CEB．

(2)、AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．

查看试题解析
28. 如图：

(1)、模型的发现：
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，且 $B$ 、 $C$ 两点在直线 $l$ 的同侧， $B D ⊥$ 直线 $l$ ， $C E ⊥$ 直线 $l$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ．请直接写出 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的数量关系．

(2)、模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $l$ 的异侧，请说明 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并证明．

(3)、模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 $∠ B A C = ∠ 1 = ∠ 2 = α$ ，其中 $90 ° < α < 180 °$ ，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 $D E$ 、 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并证明．

查看试题解析

29.

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， E、F分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，探究图中 $∠ B A E$ 、 $∠ F A D$ 、 $∠ E A F$ 之间的数量关系．
小芮同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点G，使 $D G = B E$ ．连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，他的结论应是；

(2)、如图2，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， E、F分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)、已知在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A B = A D$ ，若点E在 $C B$ 的延长线上，点F在 $C D$ 的延长线上，如图3所示，仍然满足 $E F = B E + F D$ ，请直接写出 $∠ E A F$ 与 $∠ D A B$ 的数量关系．

查看试题解析
30. 问题背景：

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，探究图中线段 $B E$ 、 $E F$ 、 $F D$ 之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，他的结论应是．

(2)、探索延伸：①如图2，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
②如图2，若五边形 $A B E F D$ 的面积为30， $B E = 4$ ， $D F = 6$ ，直接写出 $A$ 点到 $E F$ 的距离．

查看试题解析
31.

(1)、【问题引领】
问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∠BCD＝120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，先证明 $△$ CBE≌ $△$ CDG，再证明 $△$ CEF≌ $△$ CGF．他得出的正确结论是．

(2)、
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ECF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．

(3)、【拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．

查看试题解析
32. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ B D C$ 是等腰三角形，且 $∠ B D C = 120 °$ ， $D B = D C$ ，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 $A B$ ， $A C$ 边于M，N两点，连接 $M N$ ，延长 $A B$ 至E，使 $B E = C N$ ，连接 $D E$ ．

(1)、请在横线上写出角的度数，补充 $∠ D B E = ∠ D C N = 90 °$ 的证明过程．
证明：∵ $△ A B C$ 是等边三角形，∴ $∠ A B C = ∠ A C B =$ $°$ ．
∵ $∠ B D C = 120 °$ ， $D B = D C$ ， ∴ $∠ D B C = ∠ D C B =$ $°$ ．
∴ $∠ A B C + ∠ D B C = ∠ A C B + ∠ D C B = 90 °$ ， $∠ A B D = ∠ D C N =$ $°$ ．
∵ $∠ A B D + ∠ D B E = 180 °$ ， ∴ $∠ D B E =$ $°$ ．
即 $∠ D B E = ∠ D C N = 90 °$ ；

(2)、求证： $B M + C N = M N$ ．

查看试题解析

33. 如图

(1)、如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ．请直接写出线段 $E F$ ， $B E$ ， $F D$ 之间的数量关系：；

(2)、如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)、在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 所在直线上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 $E F$ ， $B E$ ， $F D$ 之间的数量关系．

查看试题解析
34. 已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：

(1)、如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，

∠E'AF＝度，……

根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．

∴EF＝BE+DF．

(2)、类比探究：
如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；

(3)、拓展应用：
如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S_△_ABC＝14，S_△_ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．

查看试题解析
35. 如如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 10$ ．

(1)、如图①，分别以 $A B$ ， $B C$ 为边，向外作等边 $Δ A B D$ 和等边 $Δ B C E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ，则 $A E$ $C D$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；

(2)、如图②，分别以 $A B$ ， $B C$ 为腰，向内作等腰 $Δ A B D$ 和等腰 $Δ B C E$ ， $∠ A B D = ∠ C B E$ 且小于 $\frac{1}{2} ∠ A B C$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ，猜想 $A E$ 与 $C D$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图③，以 $A B$ 为腰向内作等腰 $Δ A B D$ ，以 $B C$ 为腰向外作等腰 $Δ B C E$ ，且 $∠ A B D = ∠ C B E$ ，已知点 $A$ 到直线 $D E$ 的距离为3， $A E = 12$ ，求 $D E$ 的长及点 $D$ 到直线 $A E$ 的距离．

查看试题解析
36. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上运动，点 $F$ 在边 $D C$ 或 $C B$ 上运动．

(1)、若点 $F$ 在边 $D C$ 上，
$①$ 如图1，已知 $∠ E A F = 45 °$ ，连结 $E F$ ，求证： $E F = B E + D F$ ．
$②$ 如图2，已知 $A E$ 平分 $∠ B A F$ ，求证： $A F = B E + D F$ ．

(2)、若点 $F$ 在边 $C B$ 上，如图 $3$ ，已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，且 $∠ D A F = 2 ∠ B A E$ ，求证： $A F = C D + C F$ ．

查看试题解析

2023年中考数学一轮复习-全等三角形八大模型汇总（通用）

一、对称模型

二、平移模型

三、角平分线模型

四、手拉手模型

五、倍长中线模型

六、一线三等角模型

七、截长补短模型

八、半角模型