2023年中考数学精选真题实战测试34 直角三角形与勾股定理 B

试卷更新日期：2023-01-26 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图1是第七届国际数学教育大会（ $I C M E$ ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $O C = \sqrt{5}$ ， $B C = 1$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，则 $O A$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ $\sqrt{3}$ ．则四边形EFGH的周长为（）

A、 $4 (2 + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)$ C、 $8 (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ D、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2)$

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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $O E =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，点E，F分别在 $A D ， B C$ 边上， $E F ∥ A B ， A E = A B$ ， AF与 $B E$ 相交于点O，连接 $O C$ ，若 $B F = 2 C F$ ，则 $O C$ 与 $E F$ 之间的数量关系正确的是（）

A、 $2 O C = \sqrt{5} E F$ B、 $\sqrt{5} O C = 2 E F$ C、 $2 O C = \sqrt{3} E F$ D、 $O C = E F$

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5. 已知直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）

A、（1，1） B、（1，1）或（1，2） C、（1，1）或（1，2）或（2，1） D、（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）

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6. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 $30 °$ 角的三角板的直角边和含 $45 °$ 角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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7. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 中， $∠ C D E = 30 °$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $B F$ 的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是AB的中点，延长CB至点E，使 $B E = B C$ ，连接DE，F为DE中点，连接BF.若 $A C = 16$ ， $B C = 12$ ，则BF的长为（）

A、5 B、4 C、6 D、8

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，将 $△ E D C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ H B C$ ，点 $D$ ， $B$ ， $H$ 在同一直线上， $H E$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，延长 $H E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ， $H B = 2$ ， $H G = 3$ .以下结论：
① $∠ E D C = 135 °$ ；② $E C^{2} = C D \cdot C F$ ；③ $H G = E F$ ；④ $s i n ∠ C E D = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上的点，且 $B E = 2 A E$ ，过点 $E$ 作 $D E$ 的垂线交正方形外角 $∠ C B G$ 的平分线于点 $F$ ，交边 $B C$ 于点 $M$ ，连接 $D F$ 交边 $B C$ 于点 $N$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、1

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为．

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12. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .

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13. 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米.

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14. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 .

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2 \sqrt{5} cm$ ， $A C = 4 cm$ ，则 $B D$ 的长为cm.

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16. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接EF交边AD于点G．过点A作 $A N ⊥ E F$ ，垂足为点M，交边CD于点N．若 $B E = 5$ ， $C N = 8$ ，则线段AN的长为

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：

(1)、 $∠ F D G =$ °；

(2)、若 $D E = 1$ ， $D F = 2 \sqrt{2}$ ，则 $M N =$ ．

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18. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F = A E$ ， $F H ⊥ B H$ .

(1)、求证： $B E = C H$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B E = x$ ，用x表示DF的长.

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，垂足为 $O$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $M F ∥ A D$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M N$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $O N$ 的长.

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20. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，

(1)、求证：△PDE≌△CDF；

(2)、若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.

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21. 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)、【问题一】如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $G$ 、 $H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为8，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 6$ ， $C E = 2$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，求出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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22. 已知 $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点E，F分别在边 $A C$ ， $B C$ 上， $A D = m$ ， $B D = n$ ， $△ A D E$ 与 $△ B D F$ 的面积之和为S.

(1)、填空：当 $∠ A C B = 90 °$ ， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ B C$ 时，
①如图1，若 $∠ B = 45 °$ ， $m = 5 \sqrt{2}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；
②如图2，若 $∠ B = 60 °$ ， $m = 4 \sqrt{3}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；

(2)、如图3，当 $∠ A C B = ∠ E D F = 90 °$ 时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

(3)、如图4，当 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ E D F = 120 °$ ， $m = 6$ ， $n = 4$ 时，请直接写出S的大小.

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23. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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