2023年中考数学精选真题实战测试33 直角三角形与勾股定理 A

试卷更新日期：2023-01-26 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在网格中小正方形的顶点处， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ，小正方形的边长为1，则 $A O$ 的长等于（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{5}$

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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4. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ ，则图象最低点E的坐标为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， 2)$

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5. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）

A、 $\frac{13}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 6$ ， $B C ＝ 8$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点B顺时针旋转90°得到 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ .在此旋转过程中 $R t △ A B C$ 所扫过的面积为（）

A、25π+24 B、5π+24 C、25π D、5π

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7. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $A B = B C = 1$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，则点B到 $O C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、1 D、2

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，其中点 $A^{'}$ 与点A是对应点，点 $B^{'}$ 与点B是对应点．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $A B$ 边上，则点A到直线 $A^{'} C$ 的距离等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2

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9. 如图，在边长为2的等边三角形 $A B C$ 的外侧作正方形 $A B E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $5 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $A F ⊥ x$ 轴，垂足为F．若 $O E = 3$ ， $E F = 1$ ．以下结论正确的个数是（）
① $O A = 3 A F$ ；②AE平分 $∠ O A F$ ；③点C的坐标为 $(- 4 ， - \sqrt{2})$ ；④ $B D = 6 \sqrt{3}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $24 \sqrt{2}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．

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12. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝ $\frac{13}{2}$ ，则AB的长是．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $O B$ 中点， $F$ 为 $A D$ 中点，连接 $E F$ ，则 $E F$ 的长为．

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14. 小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E在 $O B$ 上，连接 $A E$ ，点F为 $C D$ 的中点，连接 $O F$ ，若 $A E = B E$ ， $O E = 3$ ， $O A = 4$ ，则线段 $O F$ 的长为．

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16. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $2 \sqrt{10}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且点D在线段 $B C$ 上，连 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ E A C = 60 °$ ，求 $∠ C E D$ 的度数．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中 $(A B < B C)$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，在 $C D$ 上截取 $C D = C B$ ， $C B$ 上截取 $C E = A B$ ，连接 $D E 、 D B$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ E C D$ ；

(2)、若 $∠ A = 90 ° ， A B = 3 ， B D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 1$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的一点，以 $A D$ 为直角边作等腰 $R t △ A D E$ ，其中 $∠ D A E = 90 °$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 22.5 °$ 时，求 $B D$ 的长．

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20. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．

(1)、求证：△AEF≌△BEC．

(2)、若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．

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21. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)、问题发现：
如图1，若 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： $B D = C E$ ；
图1

(2)、解决问题：如图2，若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点A，D，E在同一条直线上，CM为 $△ D C E$ 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2

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22. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F$ 交正方形外角的平分线 $C F$ 于点 $F$ ．求证 $A E = E F$ ．（提示：取 $A B$ 的中点 $G$ ，连接 $E G$ ．）

(1)、请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2)、如图1，若点 $E$ 是 $B C$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），其他条件不变．求证： $A E = E F$ ；

(3)、在（2）的条件下，连接 $A C$ ，过点 $E$ 作 $E P ⊥ A C$ ，垂足为 $P$ ．设 $\frac{B E}{B C} = k$ ，当 $k$ 为何值时，四边形 $E C F P$ 是平行四边形，并给予证明．

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23. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $A$ 在 $D E$ 上.
求证：以 $A E$ 、 $A D$ 、 $A C$ 为边的三角形是钝角三角形.

(1)、【探究发现】小明通过探究发现：连接 $D C$ ，根据已知条件，可以证明 $D C = A E$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，从而得出 $△ A D C$ 为钝角三角形，故以 $A E$ 、 $A D$ 、 $A C$ 为边的三角形是钝角三角形.
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

(2)、【拓展迁移】如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $B G F E$ 都是正方形，点 $A$ 在 $E G$ 上.
①试猜想：以 $A E$ 、 $A G$ 、 $A C$ 为边的三角形的形状，并说明理由.
②若 $A E^{2} + A G^{2} = 10$ ，试求出正方形 $A B C D$ 的面积.

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24. 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A D E B$ 、 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $R t △ A B C$ 的三边为一边的正方形．延长 $I H$ 和 $F G$ ，交于点 $L$ ，连接 $L C$ 并延长交 $D E$ 于点 $J$ ，交 $A B$ 于点 $K$ ，延长 $D A$ 交 $I L$ 于点 $M$ ．

(1)、证明： $A D = L C$ ；

(2)、证明：正方形 $A C H I$ 的面积等于四边形 $A C L M$ 的面积；

(3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．

(4)、【迁移拓展】
如图2，四边形 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $△ A B C$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $A B$ 下方是否存在平行四边形 $A D E B$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $A C H I$ 、 $B F G C$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $A D E B$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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